2.8. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

В ращательным движением твердого тела вокруг неподвиж­ной оси называется такое его движение, при котором две точки тела (или его продолжения) остаются неподвижными в течение всего времени движения (рис.23).

Прямая, соединяющая эти точки, называется осью вращения.

Рис. 23

Положение тела относительно выбран­ной системы отсчета полностью и одно­значно определяется в любой момент време­ни, если задано уравнение , то есть у тела одна степень свободы.

Угловая скорость, Угловое ускорение

2.9. Плоское движение твердого тела

Плоским движением твердого тела называют такое его дви­жение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же неподвижной плоскости. Часто это движение называют плоскопараллельным, так как плоскости, в которых движутся отдель­ные точки, параллельны между собой.

Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми. Такой случай движения часто реализуется в технике при движении механизмов и машин. Вращательное движение твер­дого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем плос­кого движения.

Для изучения плоского движения твер­дого тела достаточно рассмотреть движение плоской фигуры в ее плоскости, параллельной неподвижной плоскости П₀. Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно координат Oxy достаточно за­дать на э той плоскости положение отрезка О'M, скрепленного с фигурой (рис. 24).

Скрепим с твердым телом подвижную систему осей O’x’y’

Т огда для координат (x,y) точки М будем иметь:

где , α − постоянный угол между O’M и осью O’x’.

Рис. 24

Разложение плоского движения твердого тела на поступа­тельное и вращательное

Любое движение твердого тела, в том числе движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых поступательное (пере­носное), а другое – вращательное (относительное) (Рис.25).

П усть тело в своем движении переходит из одного состояния в другое. Мы можем представить это движение двумя способами:

1) тело совершает поступательное пере­мещение, когда точка А совмещается с А₁, потом доворачиваем тело вокруг точки А₁,

2) тело совершает поступательное пере­мещение, когда точка В совмещается с В₁,потом доворачиваем тело вокруг точки В₁.

Рис. 25 Точки А₁ и В₁, вокруг которых мы дово-

рачиваем фигуру, назы­вают полюсами.

Нетрудно заметить, что поворот фигуры всегда будет одним и тем же (на угол φ), независимо от выбора полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора точки – полюса.

2.10. Скорость точек тела при плоском движении Мгновенный центр скоростей

Выбираем точку А за полюс – начало отсчета подвижной системы координат, движущейся только поступательно, относительное движе­ние будет "чистым" вращением (рис. 26).

С истемы осей параллельны: Аx' || Ox ; Ay' || Oy.

И з уравнений для сложного движения точки

имеем:

Рис. 26

Скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса (переносной) и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса. Эта формула выражает зависимость между скоростями двух любых точек тела при плоском движении в любой момент времени.

В каждый момент времени при плоском движении фигуры, если ω≠0, имеется единственная точка этой фигуры (или ее продолже­ния), скорость которой равна нулю. Эту точку называют мгно­венным центром скоростей.

Способы нахождения мгновенного центра скоростей.

М гновенный центр скоростей можно найти либо из механических условий задачи (точка касания колеса, катящегося без проскальзыва­ния), либо по скоростям точек плоской фигуры.

Если известны скорости двух точек пло­ской фигуры (рис. 27), мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям этих точек.

Рис. 27

В том случае (Рис. 28), ко­гда точки лежат на общем перпендикуляре к скоростям этих точек и скорости точек параллельны, концы векторов скоростей точек лежат на од­ной прямой, проведенной че­рез мгновенный центр ско-ростей, так как скорости то-чек пропорциональны расстоя- Рис. 28

ниям от этих точек до центра скоростей.

Е сли скорости двух точек, расположен­ных на общем перпендикуляре к этим скоро­стям, еще и равны (Рис. 29), мгновенный центр скоростей находится на бесконечности и мы имеем мгновенное поступательное движение плоской фигуры, при котором скорости всех точек фигуры одинаковы по модулю и направлению (=0).

При этом мгновенном поступа-тельном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны.

Рис. 29