6.4. Теории прочности

При центральном растяжении (сжатии) в нормальных сечениях стержня возникают одни нормальные напряжения . Условие прочности в данном случае имеет вид:

.

Здесь допускаемое напряжение вполне определяется механическими испытаниями материала на растяжение (сжатие) и условиями работы детали.

Если в рассматриваемом сечении имеются одни касательные напряжения (чистый сдвиг), то условие прочности запишется так:

,

где определяется механическими испытаниями материала на сдвиг (срез) и условиями работы детали.

Оценку прочности конструкции в точке в случае сложного напряжённого состояния, когда в данной точке на данной площадке одновременно действуют и , произвести на основании эксперимента весьма затруднительно. Для такой оценки прочности деталей служат теории прочности, которые строятся на основе различных критериев прочности. Критерий прочности устанавливается на основании гипотез возникновения текучести материала или его разрушения (гипотез предельных состояний). Предельное напряжённое состояния в общем случае зависит от соотношения между тремя главными напряжениями. Гипотезы предельных состояний (гипотезы прочности) основываются на предпосылке, что два каких-либо напряжённых состояния считаются равноопасными, если они, при увеличении главных напряжений в одно и то же число раз, одновременно становятся предельными. В этом случае коэффициент запаса прочности для обоих напряжённых состояний в указанных условиях будет одинаковым.

Поэтому в случае сложного напряжённого состояния следует определить эквивалентное напряжение, при котором возникает опасность разрушения, и сравнить его с допустимым значением напряжения на растяжении, полученным опытным путём:

.

Существует несколько гипотез прочности. Одни гипотезы прочности дают удовлетворительные результаты для хрупких материалов, другие – для пластичных.

Рассмотрим наиболее известные теории прочности в хронологическом порядке их появления.

1. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). В XVIII–начале XIX в. преимущественно применялись такие материалы, как камень, стекло, кирпич, чугун, т. е. хрупкие материалы. Для них наиболее свойственным представлялось разрушение путём отрыва. Поэтому согласно первой теории прочности считалось−разрушение материалов при сложном напряжённом состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает предельного значения.

Условие прочности по этой теории для расчетного (или эквивалентного) напряжения имеет вид

σ_р = σ_эквI = σ₁ ≤ [σ], (6.16)

где [σ] = σ_в/[п],

σ_в − предел прочности при растяжении,

[п] − выбранный нормативный коэффициент запаса прочности.

В случае плоского напряжённого состояния из выражения (6.14) следует:

. (6.17)

По первой теории прочности остальные два главных напряжения во внимание не принимаются.

2. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности).

Согласно этой теории разрушение материалов при сложном напряжённом состоянии наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине относительное линейное удлинение достигает некоторого предельного значения.

Эта теория прочности получила опытное подтверждение только для весьма хрупких материалов.

3. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности). Широкое развитие производства, строительство железных дорог во второй половине XIX в. и связанный с этим процессом анализ причин возникновения и развития пластических деформаций привели к формированию третьей теории прочности. По этой теории разрушение материалов наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает некоторого предельного значения. Согласно этой теории прочность обеспечена, если

τ_max ≤ [τ]. (6.18)

Максимальное значение расчётного касательного напряжения при сложном напряжённом состоянии согласно (6.15) равно

,

а величина допускаемых касательных напряжений определяется из опыта на простое растяжение и согласно (6.7) равна

,

где [σ] = σ_Т /[n];

σ_T − предел текучести материала;

[п] – принятый нормативный коэффициент запаса прочности.

Тогда по третьей теории прочности окончательное условие прочности принимает вид:

σ_р = σ_эквIII = σ₁ – σ₃ ≤ [σ]. (6.19)

Для часто встречающегося случая плоского напряжённого состояния из выражения (6.14) получаем

. (6.20)

Опытная проверка показала, что эта теория даёт хорошие результаты для пластичных материалов. Для хрупких материалов она неприменима. Третья теория не учитывает влияния на прочность промежуточного (σ₂) главного напряжения, что может привести к ошибке до 12 %.

4. Теория энергии формоизменения (четвёртая теория прочности). Недостатки описанных выше теорий прочности частично исправляет теория энергии формоизменения, согласно которой разрушение в точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного для данного материала значения. Условие прочности по четвёртой теории имеет вид:

, (6.21)

где и_ф – максимальное значение удельной потенциальной энергии формоизменения;

[и] − допускаемое значение удельной потенциальной энергии формоизменения при растяжении.

Для практически важных случаев исследования изгиба балок, а также совместного кручения и изгиба валов в наиболее нагруженных точках поперечного сечения имеет место плоское напряжённое состояние и возникают нормальные σ и касательные напряжения τ. Условие прочности по четвёртой теории для этих инженерно значимых условий работы брусьев примет вид:

. (6.22)

Эта теория находится в соответствии с данными экспериментальных исследований прочности для металлов с выраженными упругопластическими свойствами (конструкционные стали) и имеет большое распространение в современной расчётной практике.

Пример 6.1. Определить запас прочности по пластическим деформациям болта соединения (рис. 34) с резьбой М24 х 1,5, если в результате затяжки в нём создано усилие кН, а момент сопротивления в резьбе (крутящий момент) составляет Нм. Материал болта – углеродистая сталь ( МПа).

Решение. Оценим прочность болта в сечении минимального диаметра по впадинам резьбы. По стандарту находим, что для данного болта внутренний диаметр резьбы мм. Определим напряжение растяжения в болте от усилия затяжки:

.

О пределим касательные напряжения от момента, обусловленного трением и подъёмом витков, в резьбе:

.

Найдём эквивалентное напряжение:

.

Определим запас прочности:

.

Коэффициент запаса прочности рассматриваемой конструкции резьбового соединения .

Вопросы для самопроверки

1. Что называют напряжённым состоянием в точке?

2. Какие виды напряжённого состояния могут быть?

3. Какие площадки и напряжения называют главными?

4. Сущность закона парности касательных напряжений.

5. Каково назначение теорий (гипотез) прочности?

6. На какой предпосылке основываются гипотезы прочности?

7. Какие теории прочности нашли наибольшее применение?

8. Как в случае плоского напряжённого состояния определяются эквивалентные напряжения по третьей и четвёртой теориям прочности?