2. Однопродуктовые детерминированные модели со статическим спросом

1. Простейшая модель оптимального размера партии поставки (модель Уилсона)

Модель Уилсона основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, которая минимизирует расходы на заказываемый объем и содержание ресурса. Модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях:

• уровень запаса снижается равномерно в соответствии с равномерно поступающими требованиями – спросом .

• заказ выполняется мгновенно, т.е. время доставки равно нулю и уровень запаса восстанавливается до значения равного .

• накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой партии, не зависят от объема партии и равны постоянной величине ;

• издержки содержания единицы продукции в единицу времени равны .

Динамика изменения уровня запаса в модели Уилсона представленная на рисунке 10.1. определяется следующим образом. Предположим, что в начальный момент времен уровень запаса равен . Затем в течение времени уровень запаса равномерно снижается до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии объема . Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины .

0 2𝜏

Рисунок 10.1

Интервал времени длиной между поставками называется циклом. Очевидно, что .

Затраты в течение цикла состоят из накладных расходов и издержек содержания запаса, которые пропорциональны средней величине текущего запаса и времени содержания (длине цикла) :

Разделив это выражение на длину цикла , получим издержки в единицу времени:

. (10.1)

Издержки в единицу времени являются функцией переменной . Поскольку издержки должны быть минимальными, то найдем минимум функции . Для этого вычислим производную первого порядка и приравняем ее к нулю. Последовательно выполняя преобразования найдем стационарную точку.

.

Так как для всех > 0, то

(10.2)

точка минимума функции . Следовательно, если объем партии равен , то издержки (10.1) при этом значении достигают минимального значения. Формулу (10.2) называют формулой размера партии, экономичной величиной заказа, формулой квадратного корня или формулой Уилсона. Зная минимальный размер партии , вычислим:

- минимальный интервал между поставками

- минимальный средний уровень текущего запаса

- минимальные затраты по формированию заказа и содержанию запасов в единицу времени

- минимальное число поставок за период

или ,

где = – потребление за период , - наибольшее целое число, не превосходящее данное.

Если ввести в рассмотрение издержки размещения заказа в единицу времени и средние издержки содержания запаса в единицу времени то минимальные затраты равны удвоенному среднему геометрическому из издержек размещения и содержания запаса:

Если задана не интенсивность потребления в единицу времени, а общий его объем запаса Q за период Т, то и тогда параметры модели Уилсона будут вычисляться по формулам:

, ,

Модель Уилсона может быть использована при расчете оптимальной партии запуска продукции в производство. В этом случае величины, входящие в модель имеют другой смысл:

- издержки, связанные с переналадкой оборудования, не зависящие от величины выпускаемой партии;

– величина партии запуска;

- интенсивность потребления (например, годовая потребность в продукции);

s - издержки содержания единицы продукции в единицу времени. Издержки содержания при вычислении оптимальной партии запуска могут определяться величиной процента от стоимости единицы продукции , т.е. Параметры модели Уилсона выпуска продукции партиями будут вычисляться по формулам:

; ; .