2. Примеры линейных оптимизационных моделей

Пример 1.1. Линейная оптимизационная модель годовой производственной программы предприятия.

Производственная мощность предприятия характеризуется величиной годового максимально – возможного выпуска продукции при применении прогрессивных технологий, эффективной организации производства и наиболее полном использовании производственного оборудования предприятия. Математическая модель для определения производственной программы должна иметь критерий эффективности со стоимостными показателями продукции, хотя они имеют ряд недостатков (изменение цен на продукцию из-за инфляционных процессов, ставок оплаты труда, цен на сырье и др.)

Для построения модели введем обозначения:

• - объем производства продукции - го вида, ;

• - стоимость единицы продукции - го вида, ;

• - время обработки - ой продукции на - том оборудовании;

• - фонд времени работы оборудования - го вида.

Математическая модель рассматриваемой задачи будет иметь вид:

Найти план выпуска продукции, при котором предприятие получит максимум выручки

при ограничениях на фонд времени работы оборудования

.

Частным случаем рассматриваемой модели является оптимизационная модель использования ресурсов.

Предположим, что предприятие может изготавливать четыре вида продукции . Предприятие располагает ресурсами и нормами их расхода, приведенными в таблице 1.1

Таблица 1.1

Ресурсы	Продукция					Объем ресурса
	П-1	П-2	П-3	П-4
Трудовые ресурсы, человеко-смены	2,5	2,5	2	1,5	100
Полуфабрикаты, кг	4	10	4	6	270
Станочное оборудование, станко-смены	8	7	4	10	350
Прибыль от единицы продукции, ден. ед.	40	45	95	90

Требуется: 1) определить план выпуска продукции, максимизирующей прибыль предприятия;

2) учесть требование комплектации, чтобы количество единиц третьей продукции было в два раза больше количества единиц первой;

3) определить оптимальный ассортимент при дополнительных условиях: первой продукции выпускать не менее 27 единиц, третьей – не более 35, а второй и четвертой – в отношении 2:3.

Построим математическую модель задачи. Для этого введем неизвестные величины , характеризующие количество произведенной продукции. Критерий оптимальности – стоимостной (максимум прибыли предприятия). Следовательно, нужно определить план выпуска продукции , при котором целевая функция достигает максимального значения и который удовлетворяет системе ограничений:

• на трудовые ресурсы:

• на полуфабрикаты:

• на станочное оборудование:

• условию неотрицательности переменных:

• дополнительное требование комплектации: ;

• дополнительные условия:

Линейная оптимизационная модель построена. Способы решения рассмотрим ниже.

Пример 1.2. Линейная оптимизационная модель о выборе технологий.

Предположим, что для выпуска некоторой однородной продукции можно использовать технологий и при этом используются видов ресурсов, заданных соответственно объемами

Построим математическую модель, решая которую определим оптимальную технологию для выпуска однородной продукции. Пусть: - время, в течение которого предприятие выпускает продукцию по - тому технологическому способу;

, , - стоимость конечной продукции, производимой в единицу времени, по - тому технологическому способу;

- расход - го ресурса в единицу времени по - тому технологическому способу.

Пренебрегая временем переналадок, необходимым для перехода от одного технологического способа к другому, и воспользовавшись стоимостным критерием оптимальности, получим следующую математическую модель рассматриваемой задачи.

Определить оптимальное применение технологических способов , при которых максимизируется объем выпуска ( в ден. ед.) продукции:

и, которые удовлетворяют системе ограничений:

Предположим, что предприятие может работать по трем технологическим способам. Расход ресурсов за единицу времени при соответствующей технологии и производительность по каждому технологическому способу (в ден. ед.) в единицу времени, представим в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Ресурсы	Технологические способы			Объем ресурса
	Т-1	Т-2	Т-3
Трудовые ресурсы, человеко - часов	15	20	25	1 300
Сырье, т	2	3	2	150
Электроэнергия, кВт/ч	25	30	20	3 000
Производительность технологического способа	350	300	450

Определить план использования технологических способов, при котором максимизируется объем выпуска продукции.

Построим математическую модель задачи. Пусть - время использования -го технологического способа. Требуется найти план , при котором целевая функция

достигает максимального значения, и который удовлетворяет ограничениям:

Пример 1.3. Линейная оптимизационная модель раскроя материалов.

На деревообрабатывающем предприятии листы фанеры для изготовления деталей изделий могут раскраиваться несколькими способами. Если лист раскроить по j-му способу раскроя ( ), то получится деталей i-го вида ( ), при этом отходы с одного листа равны м². Требуется найти, сколько листов фанеры раскраивать по каждому из способов раскроя, чтобы получить деталей i-го вида не менее единиц, а количество отходов должно быть минимальным.

Составим математическую модель данной задачи.

Обозначим количество листов фанеры, раскраиваемых по j - тому способу. Определим план раскроя листов фанеры так, чтобы суммарное количество отходов по всем вариантам раскроя было минимальным:

и чтобы выполнялись ограничения на изготовление деталей:

Количество листов фанеры, раскраиваемых по j - тому способу, должно быть неотрицательным:

.

Пример 1.4. Линейная оптимизационная модель о рационе.

Сельскохозяйственное предприятие для откорма скота располагает n видами кормов (сочные, грубые, концентрированные и др.). Каждый вид корма характеризуется содержанием питательных веществ (кормовые единицы, белки, фосфор, кальций и др.). Известно содержание i-го питательного вещества в единице корма j-го вида и равно оно единиц ( , ), а также – стоимость единицы корма j-го вида ( ) и минимальная суточная потребность скота в i-м питательном веществе ( ). Требуется составить рацион минимальной стоимости.

Для построения математической модели данной задачи обозначим - количество корма - го вида. Определим рацион , при котором суммарная стоимость рациона:

будет минимальной, а суточная потребность животного в питательном веществе - го вида будет не менее минимального количества :

Количество корма, потребляемого животным, не может быть отрицательной величиной:

.

Пример 1.5. Линейная оптимизационная модель о назначениях.

Имеется n механизмов, которые могут использоваться для выполнения n работ. Известна производительность каждого i-го механизма ( ). Требуется так закрепить механизмы за работами, чтобы суммарная их производительность была максимальной.

Для составления математической модели задачи введем переменные:

Найдем план использования механизмов так, чтобы их суммарная производительность была максимальной:

,

при ограничениях:

• -ый механизм должен быть назначен только на одну работу:

,

• каждая работа должна выполняться только одним механизмом:

.

Пример 1.6. Линейная оптимизационная модель о размещениях.

Отраслью заключены договоры на поставку продукции потребителям в заданных ассортименте, объеме и сроках. Для выполнения договорных обязательств руководство отрасли разрабатывает мероприятия по расширению производства на ряде предприятий, проведению их реконструкции, а также строительству и вводу новых мощностей. Требуется определить объемы производства продукции на действующих, реконструируемых и вновь вводимых предприятиях, а также объемы поставок продукции от предприятий-поставщиков к потребителям, чтобы суммарные затраты на производство и доставку продукции были минимальными.

Введем обозначения и построим математическую модель задачи:

i – вид производимой продукции ( );

j – номер предприятия, производящего продукцию ( );

k – номер потребителя продукции ( );

– мощности j-го предприятия по производству продукции i-го вида;

– стоимость производства единицы продукции i-го вида на j-м предприятии;

– затраты на перевозку единицы продукции i-го вида от j-го предприятия k-му потребителю;

– объем поставки продукции i-го вида k-му потребителю согласно договорным обязательствам;

– искомый объем производства продукции i-го вида на k-м предприятии;

– объем поставки j-м предприятием продукции i-го вида k-му потребителю.

С учетом обозначений суммарные производственные и транспортные затраты в математической модели определяются следующим выражением

.

Ограничения задачи:

• по мощностям каждого предприятия

• по балансу производства и потребления продукции

• по удовлетворению спроса потребителей

• объемы поставок и производства продукции должны быть неотрицательными: