Векторная диаграмма для цепи с параллельным соединением ветвей. Метод векторных диаграмм

Для мгновенных величин в соответствии с первым законом Кирхгофа уравнение токов

Представляя ток в каждой ветви суммой активной и реактивной составляющих, получим

Для действующих токов нужно написать векторное уравнение

Численные значения векторов токов определяются произведением напряжения и проводимости соответствующей ветви.

Расчетные формулы для цепи с параллельным соединением ветвей. Метод векторных диаграмм

Из векторной диаграммы видно, что все активные составляющие векторов тока направлены одинаково — параллельно вектору напряжения, поэтому векторное сложение их можно заменить арифметическими найти активную составляющую общего тока: I_а = I_1a + I_2a + I_3a.

Коэффициент мощности и способы его улучшения

Коэффициентом мощности или cos φ электрической сети называется отношение активной мощности к полной мощности нагрузки расчетного участка.

cos φ = P/S, где:

φ – коэффициент мощности;

P - активная мощность Вт;

S - полная мощность ВА;

Коэффициент мощности можно определить как расчетным путем, так и измерить специальными приборами. Только в том случае, когда нагрузка имеет исключительно активный характер, cos φ равен единице. В основном же, активная мощность меньше полной и поэтому коэффициент мощности меньше единицы.

Для повышения коэффициента мощности , как правило используют компенсирующие устройства (стабилизаторы, выпрямители тока и тп), чтобы активная мощность не сильно отличалась от полной мощности))

Вопрос 2) Резонанс токов – это явление в цепи с параллельным колебательным контуром, ко­гда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника. При этом реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора должны быть равны - при таких условиях возникает резонанс.. . Поскольку резонанс будет происходить только при определенной частоте - то такой контур будет считаться фильром, который будет пропускать какую-то "одну" частоту и радерживать все остальные.

На рис. представлена схема параллельного колебательного контура. Сопротивление R в индуктив­ной ветви обусловлено тепловыми потерями на актив­ном сопротивлении катушки. Потерями в емкостной ветви можно пренебречь.

Для выяснения признаков резонанса токов постро­им векторную диаграмму.

Для того чтобы ток I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока индуктивной ветвиILp должна быть равна по модулю току емкостной ветви IC (рис. 12,б). Активная составляющая тока индуктивной ветви IL,оказывается равной току источника IC .

Признаки резонанса токов:

а) сопротивление контура  максимальное и чисто активное;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практи­чески минимального значения;

в) реактивная составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

Физически это объясняется тем, что при малых потерях в контуре (при малом R) ток источника тре­буется только для покрытия этих потерь. Ток в кон­туре обусловлен обменом энергией между катушкой и конденсатором. В идеальном случае (контур без по­терь) ток источника отсутствует.

Критерием возникновения резонансного явления в цепи, содержащей индуктивные и емкостные элементы, является…

1. равенство нулю угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

2. равенство 90° угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

3. равенство 180° угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

4. равенство 270° угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

На рис. приведены кривые напряжений, тока и мощности при резонансе напряжений в цепи.

Билет 11

Вопрос 1) Для каждой сложной цепи, пользуясь законами Кирхгофа, можно составить строго определенное число независимых друг от друга уравнений. Как будет показано  ниже, это число всегда равно числу неизвестных токов в цепи.     Число уравнений находится  в зависимости от числа ветвей (n) и числа узлов (k). Любая ветвь цепи характеризуется величиной э. д. с. (Е) действующей  в ней, сопротивлением (R) и величиной тока (I).     Если в данной ветви действуют несколько э. д. с. и имеется несколько сопротивлений, то она характеризуется  алгебраической суммой всех э. д. с. и суммой всех сопротивлений,  т.е. опять-таки  определенной  (одной) э. д.  с.  и  определенным (одним) сопротивлением.     Следовательно,  сложная цепь, имеющая n ветвей,  будет характеризоваться n-э. д. с.,  n-сопротивлениями и n-токами. 

Используя первый закон Кирхгофа, можно  составить (k-1) уравнений,  связывающих между собой величины токов  в  ветвях.  Таким  образом, число  уравнений на одно меньше,  чем число всех  узлов цепи. Это объясняется тем, что  все токи, входящие в  уравнение для узла k, уже вошли в предыдущие уравнения.  На схеме в узле А  сходятся токи I₁, I₂, _I3; в узле В —I₂, I₃, I₄, I₅; в узле С — I₄, I₅,  I₁.    Уравнения первого закона  Кирхгофа для узлов А и В являются независимыми. В то же время  уравнение  для  узла С. Дает нам зависимость, которая может быть получена на основании уравнений, составленных для первых двух узлов.    В самом деле, на основании первого закона Кирхгофа получим:   — для  узла А            I₁-I₂-I₃=0;          (1) — для  узла В                       I₂+I₃+I₅-I₄=0;     (2) — для  узла С       I₄-I₁-I₅=0.          (3)

   Но  последнее  уравнение  не является независимым, так как может  быть получено на основании двух первых.    Действительно, складывая (1) и  (2), получим             I₁-I₄+I₅=0,    а умножив  обе части  равенства на -1, будем  иметь

        I₄-I₁-I₅=0    Определим теперь число уравнений, которое можно составить, используя второй закон Кирхгофа. Для того  чтобы эти уравнения были независимы друг от друга, достаточно чтобы контуры, для которых они пишутся, отличались хотя бы одной  ветвью, входящей в их состав.        Математически доказано, что число  независимых уравнений  m,  которое  можно составить для любой  сложной цепи по второму закону Кирхгофа будет равно                          m = n-k + 1,  где  m —число независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа;         n — число ветвей;         к — число узлов.    При  выборе контуров стараются  по возможности  подобрать такие,  которые содержат меньшее число ветвей и э. д. с.  Общее число уравнений,  составляемых по первому и второму законам Кирхгофа для сложной цепи, состоящей из ветвей  и  узлов, будет  равно  числу ветвей.      Складывая число  уравнений, составленных  на основании первого  закона  Кирхгофа  (k—1),  с  числом уравнений, составленных  на основании второго закона Кирхгофа  (m), получим

 k - 1 + m = k - 1 + n - k + 1 = n.    Итак, если задана цепь  из  n ветвей и известны все э. д. с. и  сопротивления, всегда можно  составить n уравнений  по числу неизвестных  токов  в  ветвях.        Для решения задачи на расчет сложной цепи необходимо:  1. По схеме цепи установить числа n  и k,  для чего пронумеровать все ветви и узлы данной сложной цепи    2. Показать  на   схеме   направления  (предположительные)  токов в каждой из ветвей.        

3. Определить, для каких  (k—1) узлов нужно составить уравнение первого закона Кирхгофа и для  каких  контуров нужно составить уравнение  второго закона Кирхгофа.  

4.  Для выбранных узловых  точек схемы составить (k — 1) уравнений по первому закону Кирхгофа:        Суммирование токов производится  обязательно с учетом знака.         5.  Для выбранных замкнутых контуров составить m уравнений по второму закону Кирхгофа:  При  составлении этих уравнений э. д. с.  суммируются  с учетом знака, а  падения  напряжения берутся со  знаком плюс, если направление тока  совпадает  с направлением  обхода  контура, и  наоборот.    6. Решить систему полученных уравнений, в  результате чего определяются величины токов во всех ветвях цепи. Если при решении   та или иная величина тока получается  со  знаком минус, то  это значит, что фактическое направление тока в данной  ветви  обратно тому,  которое  было принято  предварительно.

Вопрос 2) Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m - количество ветвей, а n  - количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Контурный ток - это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС - это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

 Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Билет 12