§6. Полная группа событий

Определение. Система событий

(1)

называется полной группой событий для данного испытания, если любым исходом его является одно и только одно событие этой группы.

Иными словами, для полной группы событий (1) выполнены следующие условия:

1. Событие достоверно;

2. События попарно несовместны, т.е. , где событие невозможное

Простейшим примером полной группы событий является пара событий .

ТЕОРЕМА. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице.

Доказательство. Для полной группы (1) событие достоверно, а события этой группы попарно несовместны. Отсюда на основании теоремы сложения вероятностей имеем

(2)

Но

поэтому из (2) имеем

=1.

§7. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Вероятность события А при условии, что произошло событие В называется условной вероятностью события А и обозначается так:

.(1)

Замечание. Вероятность каждого события в данном испытании связана с наличием известного комплекса условий. При определении условной вероятности мы предполагаем, что в этот комплекс условий обязательно входит событие . Таким образом, мы фактически имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятность появления события при этих новых условиях называется его условной вероятностью, в отличие от вероятности , которая может быть названа безусловной вероятностью события

Пример. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара

Какова вероятность: 1) извлечения из урны белого шара( событие ); 2)извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является белым(событие ) или черным (событие )?

Здесь

Таким образом, условная вероятность события может быть как меньше, так и больше вероятности этого события

Определение 2. Два события и называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого, т.е.

и

В противном случае события называются зависимыми.

Теорема 1. Вероятность произведения (совмещения) двух событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого в предположении, что первое имеет место, т.е.

Доказательство. Пусть событию благоприятствуют , а событию AB благоприятствуют равновозможных элементарных исходов из общего количества n. Тогда

Но если событие произошло , то в этой ситуации возможны лишь те m элементарных, которые благоприятствовали событию , причем R из них, очевидно, благоприятствуют событию . Таким образом.

Отсюда на основании равенств (4) имеем

Теорема доказана.

Так как , то имеем также

Замечание. Формула (5) формально остается верной если событие А невозможно.

Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство

ТЕОРЕМА 2.Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Действительно, полагая, что из формулы получаем формулу

Пример. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие ) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком ( событие В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

Пусть С-интересующее нас событие; противоположное событие , очевидно, состоит в том, что оба стрелка промахнулись. Таким образом, ,= . Так как события независимы ( при стрельбе один стрелок не мешает другому!), то

Отсюда вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком, есть

Теорема 1 допускает обобщение на случай нескольких событий. Например, для случая трех событий имеем

(9)

Определение 3. События называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любое произведение остальных (включающее либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

События, независимые в совокупности, очевидно, попарно независимы между собой; обратное неверное

ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения конечного числа независимые в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

Действительно, например, для трех независимых в совокупности событий и формулы *9), учитывая, что

имеем