В.Случайная величина и её числовые характеристики

§15 Случайная дискретная величина и её закон распределения

Величина называется случайно, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение. Случайная величина дискретной (в узком смысле), если множество всех возможных значений её конечно.

Геометрически множество всех возможных значений дискретной случайной величины представляет конечную систему точек числовой оси.

Пусть X-дискретная случайная величина, возможными и единственно возможными значениями, которой являются числа ,

Обозначим через

вероятности этих значений (т.е. есть вероятность события, состоящего в том, что принимает значение ).

События ( очевидно, образуют полную группу событий, поэтому

Определение. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

В простейших случаях закон распределения дискретной величины удобно задавать таблицей:

X			…
p

Здесь первая строка таблицы содержит все возможные значения случайной величины, а вторая - их вероятности.

Заметим, что таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.

Пример. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и по 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Здесь возможные значения для есть

Вероятности их соответственно будут

Закон распределения для выигрыша X может быть задан таблицей:

X	1000	100	1	0
p	0,0001	0,001	0,01	0,9889

Число появлений события при n независимых испытаниях модно рассматривать как случайную величину со значениями . Закон распределения этой величины дается биноминальной формулой

где ( (биноминальное распределиние).

В частности, если мало и велико, причем велико, причем ограниченная величина, заключенная между двумя фиксированными положительными числами, то приближенно справедливо распределение Пуассона

§16. Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных её значений на их вероятности.

Если есть (полный) набор всех значений дискретной случайной величины , а соответствующие им вероятности, то, обозначая буквой математическое ожидание, будем иметь

где

Очевидно, математическое ожидание случайной величины X не изменится, если таблицу значений её пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .

Пример. Найти математическое ожидание выигрыша в примере из .

Пользуясь помещенной там таблицей, имеем

(руб.) (коп.)

Как нетрудно сообразить, (коп.) есть «справедливая» цена билета.

Замечание 1. Отдельные слагаемые суммы (1) представляют собой математические ожидания случайных величин , возможными значениями которых и 0 с вероятностями соответственно и соответственно .

Замечание 2. Пусть и соответственно наименьшие и наибольшие возможные значения случайной величины X. Имеем

Таким образом,

математическое ожидание случайной величины является некоторым её средним значением

Замечание 3. Математическое ожидание числа появлений события при одном испытании совпадает с вероятностью этого события .

Действительно, пусть число появлений события в данном испытании. Случайная величина может принимать два значения: (событие наступило) с вероятностью и (событие не наступило) с вероятностью

Поэтому