§11. Биноминальный закон распределения вероятностей

Событие называется независимым в данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исхода других испытаний

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли.

Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеется только два исхода: 1) событие («успех») и 2) событие («неудача») с постоянными вероятностями и ( , причем очевидно .

Рассмотрим задачу: в условиях схемы Бернулли определить вероятность того, что при испытаниях событие , имеющее одну и ту же вероятность для каждого отдельного испытания, появится ровно m раз.

Благоприятные серии испытаний здесь имеют вид

где или причем событие встречается раз, а событие ровно раз. Так как испытания независимы, то вероятность реализации одной такой благоприятной серии , где ( . Все благоприятные серии получаются в результате выбора различных номеров испытаний из общего количество номеров и, следовательно, число их равно . Отсюда применяя теорему сложения вероятностей для случая несовместных событий, для вероятности появления события точно раз при испытаниях получим формулу Бернулли.

(1)

Эта формула называется, также биноминальной, так как её правая часть представляет собой й член Ньютона

Отсюда получаем биноминальное распределение вероятностей (см. §15) числа появлений события при независимых испытаниях:

Пример. Найти вероятность того, что при кратном бросании монеты герб выпадет ровно 5 раз.

Здесь вероятность выпадения герба при одиночном испытании , отсюда .

По формуле Бернулли имеем

§12. Локальная теорема Лапласса

Если число испытаний велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лапласс получил важную приближенную формулу для вероятности появления события точно раз, если достаточно большое число.

ТЕОРЕМА ЛАПЛАССА. Пусть -вероятность события , причем . Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласса.

где

и (2)

Доказано, что относительная погрешность формулы (1) стремится к нулю при . Доказательство этой теоремы имеется в полных курсах теории вероятностей.

В статистическом смысле представляет собой среднее значение числа появлений m события при испытаниях; таким образом, есть отклонения числа появлений события от его среднего значения. Что касается выражения то теоретико-вероятностный смысле его будет выяснен позднее (см. §18). Рассматривая как некий масштаб для отклонений при n испытаниях, число можно наглядно представить себе как отклонение числа появлений события от его среднего значения, измеренное в этом масштабе.

Введя функцию

(эта функция табулирована), формулу (1) можно переписывать в виде

Так как функция монотонно убывает при , то для одной и той же серии испытаний ( фиксировано) большие, по абсолютной величине, отклонения менее вероятны, чем меньшие. Это утверждение, понятно, справедливо при достаточно большом числе испытаний n, так как лишь в этом предположении была получена приближенная формула Лапласса.

Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна . Какова вероятность того, что при выстрелах цель будет поражена ровно раз?

Здесь Отсюда

и, следовательно,

Учитывая, что , из формулы (1) получаем

Не следует удивляться, что значение вероятности мало: попадание точно раз при выстрелах есть событие сравнительно редкое! Почти достоверным событием тут является попадание около раз. Например, вероятность неравенства , включающего 11 значений , близка к единице

Это можно проверить, вычисляя вероятность по формуле