§8. Формула полной вероятности
Пусть
событие
может произойти в результате появления
одного и только одного события
из некоторой полной группы несовместных
событий
События этой группы обычно называются гипотезами.
ТЕОРЕМА. Вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности данного события А т.е.
(формула полной вероятности), причем здесь
Доказательство. Так как
A=
+…+
,
причем,
ввиду несовместности событий
…
,
события
,…,
также несовместны, то мы на основании
теорем сложения и умножения вероятностей
имеем
что и требовалось доказать.
Пример.
В магазин для продажи поступает продукция
трех фабрик, относительные доли которых
есть:
.
Для продукции фабрик брак соответственно
составляет:
Какова вероятность того, что изделие
этой продукции, случайно приобретенное
в магазине, окажется доброкачественным
(событие А)?
Здесь
возможны следующие три гипотезы:
приобретенная
вещь выработана соответственно на
фабриках; очевидно система этих гипотез
полная, причем их вероятности
,
Соответствующие условные вероятности события А равны
По формуле полной вероятности имеем
§9.Формула Бейеса
Задача. Имеется полная группа несовместных гипотез
вероятности,
которых
известны до опыта (вероятности априори).
Производится опыт (испытание), в результате
которого зарегистрировано появление
события
,
причем известно, что этому событию наши
гипотезы приписывали определенные
вероятности
.
Спрашивается, каковы вероятности этих
гипотез после опыта (вероятности
апостериори).
Например, очевидно, что следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события . Вообще, проблема состоит в том, что имея новую информацию, мы должны переоценить вероятности наших гипотез.
Иными словами, нам нужно определить условные вероятности
На основании теоремы умножения вероятностей имеем
отсюда
(1)
Для нахождения вероятности P(A) можно использовать формулу полной вероятности
Отсюда имеем формулу вероятностей гипотез после опыта (формулу Бейеса)
(3)
Пример. Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (события А) равна 0,2, а для 2-го (событие В-0,1). Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету?
До
опыта возможны четыре гипотезы
;
эти гипотезы образуют полную группу
событий.
Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответственно равны
,P
причем
Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут
Следовательно,
гипотезы
отпадают, а вероятности гипотез
и
вычисляется по формуле Бейеса:
Таким образом, с вероятностью приблизительно 0,7 можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит 1-му расчету
Б.Повторные независимые испытания
§10. Элементы комбинаторики
Рассмотрим
совокупность n
различных элементов
Произвольную упорядоченную выборку
(возможно, с повторениями) из этих
элементов
будем называть соединением
Например,
при бросании монеты
раз выпадение герба
и выпадение решетки
могут дать соединение
Определение 1. Размещениями из n элементов по называются их соединения, каждое из которых содержит ровно различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Определим
число
размещений из
элементов
по
элементов.
Пусть
всевозможные размещения, содержащие
элементов.
Будем эти размещения строить
последовательно. Сначала определим
первый
элемент размещения. Очевидно, из данной
совокупности n
элементов его можно выбрать n
различными способами. После выбора
первого элемента
для
второго элемента
остается
n-1
способов выбора и т.д. Так как каждый
такой выбор дает новое размещение, то
все эти выборы можно свободно комбинировать
между собой. Поэтому имеем
Вводя
обозначение факториала
формулу
(1) можно записать в следующем виде:
(2)
Определение 2. Соединения из n элементов, каждое из которых содержит n элементов и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками.
Очевидно, число перестановок из n элементов равно
Условно
считают, что
Определение 3. Сочетаниями из элементов по называются такие соединения, каждое из которых содержит ровно m данных элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом.
Обозначим
через
число сочетаний из
элементов по
.
Рассмотрим все допустимые сочетания наших элементов
Делая
в каждом из них
Возможных перестановок их элементов,
очевидно, получим все размещения из
элементов по
.
Таким образом, имеем формулу
Формулу (4) можно представить также в виде
Символ обладает очевидным свойством
(6)
которое
также будет равно и при
,
если принять
Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона
И
поэтому часто называются биноминальными
коэффициентами
(см.гл.
)
Пример. Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие А)?
Здесь
число случайных выборок
,
а число выборок благоприятствующих
событию
,
есть
.
Таким образом, искомая вероятность
равна
