§13. Интегральная теорема Лапласа

Поставим вопрос: какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие , имеющее вероятность , при n испытаниях появляется не менее раз и не более раз?

На основании теоремы сложения вероятности для несовместных событий получим

Отсюда, используя локальную теорему Лапласа, приближенно будем иметь

где

и

Имеем

и, следовательно,

Сумма (5) является интегральной для функции на отрезке . При , т.е. при , её предел есть соответствующий определенный интеграл. Поэтому, считая достаточно большим получаем, приближенную формулу

где

Это составляет содержание интегральной теоремы Лапласа.

Введем стандартный интеграл вероятностей (функцию Лапласа)

Который, очевидно, является первообразной функции .

Тогда на основании формулы Ньютона-Лейбница из (6)будем иметь

Формула (8) приближенно дает вероятность того, что число m появлений события А при n испытаниях удовлетворяет неравенству а следовательно, случайная величина неравенству Эту формулу часто записывают так:

(Интегральная формула Лаплас)

Интеграл не выражается через элементарные функции; для вычисления его используются специальные таблицы, обычно помещаемые в полных курсах теории вероятностей.

Мы приводим здесь часть такой таблицы.

	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
	0	0,192	0,341	0,433	0,477	0,494	0,499

Функция (рис.270) обладает следующими свойствами: 1) ; 2) (см. гл. , §4); 3)функция - нечетна, т.е (поэтому в таблице нет надобности приводить значения функции для отрицательных значений аргумента), в частности ; 4) - монотонно возрастающая функция (это следует из того, что При , с точностью до тысячных, можно принять .

Рисунок 270

Пример. Вероятность поражения цели при одиночном выстреле орудия равна . Какова вероятность того, что при залпе из орудий цель будет поражена не менее раз?

Здесь . Имеем

Отсюда

На основании формулы (8) получаем

Задача. В условиях схемы Бернулли найти вероятность того, что отклонение относительной частоты события от его вероятности по абсолютной величине не превышает заданного числа .

Эту вероятность мы будем обозначать так:

Из неравенства

получаем равносильное неравенство

или

Отсюда, полагая

будем иметь

В силу формулы (8’), учитывая нечетность функции находим

Так как то

при .

Таким образом, в условиях схемы Бернулли, как бы ни было мало , с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что при достаточно большом числе испытаний отклонение частоты появления события от его вероятности по абсолютной величине будет меньше (закон больших чисел в форме Бернулли).

§14. Теорема Пуассона

Пусть производится серия независимых испытаний причем вероятность появления данного события в этой серии зависит от её номера и стремится к нулю при (последовательность ≪редких событий≫). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события постоянно, т.е.

(1)

отсюда

На основании биномиальной формулы (§11) для вероятности появления события в й серии ровно раз имеем выражение

Пусть фиксировано и . Тогда

Кроме того (см гл. ,§12), учитывая, что

и, следовательно

имеем

если

Таким образом, переходя к пределу в формуле (3) при получаем

Если n велико, то вероятность сколь угодно мало отличается от предела (4). Отсюда при больших n для искомой вероятности имеем приближенную формулу Пуассона

где = (теорема Пуассона).

Вообще, формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число испытаний «велико», вероятность, вероятность события «мала», а = «не мало и не велико».

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Пример. При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность, что в партии 100 изделий продукции 2 изделия будут нестандартными?

Здесь вероятность p=0,01 мала, а число n=100 велико, причем

=

Используя закон Пуассона для искомой вероятности, получаем следующее значение: