§17. Основные свойства математического ожидания.

Укажем важнейшие свойства математического ожидания. Доказательства будут проведены для дискретных случайных величин. Однако соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин, поэтому при формулировках теоремы мы не будем упоминать, что рассматриваемые величины дискретны.

Нам понадобится выяснить смысл арифметических операций , , и т.п., где и дискретные случайные величины. Нетрудно дать соответствующие определения.

Например, под суммой понимается случайная величина , значениями которой являются допустимые суммы , где и все возможные значения соответственно случайных величин и , причем соответствующие вероятности равны

Если какая-нибудь из комбинаций невозможна, то условно полагают это не отразится на математическом ожидании суммы.

Аналогично определяются остальные выражения.

Различают также независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае они называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные приняли остальные величины.

ТЕОРЕМА 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, т.е. если постоянная величина, то

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому

ТЕОРЕМА 2. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т.е. если и случайные величины, то

(2)

и т.п.

Доказательство. 1) пусть случайная величина принимает значения с вероятностями , а случайная величина принимает значения с вероятностями . Тогда возможными значениями вероятностями случайной величины будут суммы вероятности которых равны

Как было отмечено выше, все комбинации (i,j)(i=1,2,…,n,j=1,2,…m) можно считать допустимыми, причем если сумма невозможна, то полагаем

Имеем

Воспользовавшись очевидными свойствами суммы: 1)сумма не зависит от порядка слагаемых и 2) множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы из (4) получим

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значение при условии, что случайная величина принимает одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому

Аналогично,

Тогда из формулы (5) получаем

что и требовалось доказать.

2)Для нескольких случайных величин, например для трех , имеем

и т.д.

Следствие. Если постоянная величина, то

ТЕОРЕМА 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

где и независимые случайные величины.

Доказательство. Пусть и законы распределения соответственно случайных величин и . Так как и независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений вида , причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны

Имеем

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин имеем

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Если постоянная величина, а любая случайная величина, то, учитывая, что С и X независимы, на основании теоремы (1) получим

Следствие 3. Математическое ожидание разности любых двух случайных величин и равно разности математических ожиданий этих величин, т.е.

Действительно, используя теорему о сумме математических ожиданий и следствие (2), получим