4.3 Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.

Промежуток из области определения функции, на котором график функции лежит ниже любой касательной, проведённой к графику в любой точке из этого промежутка, называется промежутком выпуклости графика функции. (рис.)

Промежуток из области определения функции, на котором график функции лежит выше любой касательной, проведённой к графику в любой точке из этого промежутка, называется промежутком вогнутости графика функции. (рис.)

Точка, в которой промежуток выпуклости графика функции сменяется промежутком вогнутости, называется точкой перегиба.

Промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба находят с помощью второй производной.

Правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба:

1. Найти область определения функции.

2. Найти вторую производную функции .

3. Найти корни уравнения .

4. Найденными корнями разбить область определения функции на числовые промежутки.

5. Определить знак второй производной в каждом из полученных числовых промежутков.

6. В промежутке, в котором имеет знак +, график функции является вогнутым, в промежутке, в котором имеет знак -, график функции является выпуклым.

Пример. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение. Область определения данной функции .

Найдём вторую производную функции:

.

.

Найдём нули второй производной

.

Полученные результаты занесём в таблицу и определим знак второй производной в каждом из полученных числовых промежутков:

		2		3
	+	0	-	0	+
	график вогнутый	-19	график выпуклый	5	график вогнутый

Упражнения

№1. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графиков следующих функций:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

4.4 Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая линия, расстояние до которой от точки кривой стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные, которые могут вырождаться в горизонтальные.

Уравнение вертикальной асимптоты графика функции имеет вид ,

где число находят из соотношения .

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: ,

где коэффициенты и находят по формулам

.

При наклонная асимптота вырождается в горизонтальную.

Замечание. Функция-многочлен асимптот не имеет.

Пример 1. Найти асимптоты графика функции . Сделать чертёж.

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту , т.к. .

Найдём горизонтальную асимптоту:

,

таким образом, наклонная асимптота выродилась в горизонтальную (рис.1)

Рис.1

Пример 2. Найти асимптоты кривой .

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту , т.к. .

Найдём наклонную асимптоту:

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

(рис. 2)

Рис. 2

Упражнения.

№1. Найти асимптоты следующих кривых, сделать чертежи:

1. 2.

3. 4.

5. 6.