1.5 Матрицы. Основные понятия и определения

Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов.

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

- обозначения матриц размером ,

- обозначение элементов матрицы, где - номер строки, - номер столбца.

Например,

- матрица размером .

Две матрицы называются равными, если они одного размера и поэлементно совпадают, т.е.

, если для любых .

1.6 Виды матриц.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой.

- вектор-строка.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)- столбцом.

- вектор-столбец.

Матрица, состоящая из строк и столбцов называется квадратной матрицей -го порядка.

Например, матрица

является квадратной матрицей третьего порядка.

Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадают, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы .

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны , то матрица называется диагональной.

Например, матрица

является диагональной матрицей третьего порядка.

Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны , то матрица называется единичной матрицей -го порядка и обозначается буквой .

Например,

- единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны .

Например,

- нуль-матрица размером .

1.7 Элементарные преобразования матриц.

Элементарными называются такие преобразования матрицы, в результате которых получают матрицу, эквивалентную данной.

К элементарным преобразованиям относятся следующие действия:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на одно и то же число, не равное .

3. Перестановка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу строки (столбца) матрицы соответствующих элементов строки (столбца), умноженных на одно и то же, не равное число.

1.8 Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия и определения

Система линейных уравнений с неизвестными имеет вид

Здесь - неизвестные переменные,

- числа, называемые коэффициентами системы,

- числа, называемые свободными членами.

Система из уравнений с неизвестными называется квадратной.

Решением системы уравнений называют упорядоченный набор значений переменных , обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему - значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Система, имеющая решения, называется совместной.

Система, имеющая только одно решение, называется определённой.

Система, имеющая более одного решения, называется неопределённой.

Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Система, у которой все свободные члены равны , называется однородной.

Однородная система всегда совместна, т.к. набор из нулей удовлетворяет любому уравнению системы.