Раздел 2 предел функции.

2.1 Определение предела функции

Пусть функция определена во всех точках промежутка , за исключением, быть может, некоторой точки . Составим последовательность значений аргумента функции :

, таким образом, чтобы все члены последовательности принадлежали промежутку , и последовательность сходилась к точке , т.е.

.

Тогда значения функции также образуют числовую последовательность

Определение 1. Число является пределом функции при , стремящемся к , если для любой последовательности аргументов, сходящейся к числу , последовательность значений функции сходится к числу .

Обозначение предела функции при :

.

Определение 2. Число является пределом функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что при всех , удовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство

.

2.2 Основные теоремы о пределах функции.

Пусть функции и имеют пределы при , стремящемся к , т.е.

,

тогда справедливы следующие теоремы:

1. Предел суммы (разности) двух (или более) функций равен сумме (разности) пределов каждой из этих функций.

2. Предел произведения двух (или более) функций равен произведению пределов каждой из этих функций.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Предел частного двух функций равен частному пределов каждой из этих функций.

.

(в этом случае предполагается, что функция в достаточно малой окрестности точки и ).

4. Если существует и -элементарная функция, то

2.3 Вычисление пределов функций.

Замечание. Число, к которому в пределе функции стремится переменная , называется предельным значением переменной; выражение, стоящее под знаком , называется предельным выражением.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Предельное выражение является многочленом, для вычисления предела воспользуемся соответствующими теоремами:

Таким образом, для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной подставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е.

Если в результате получится конечное число или бесконечность, предел функции считается вычисленным.

Пример 2. Вычислить

Решение:

.

Пример 3. Вычислить

Решение.

Воспользуемся теоремой о пределе частного:

В большинстве случаев при вычислении пределов функций подстановка предельного значения переменной в предельное выражение приводит к так называемым неопределённостям, т.е. не даёт в результате конечного числа или . Тогда предел функции вычисляют с помощью различных специальных приёмов в зависимости от типа неопределённости.

Типы неопределённостей:

2.3.1 Раскрытие неопределенности типа

В предельном выражении выносят за скобки старшую степень числителя и старшую степень знаменателя, в результате сокращения дроби на степень переменной неопределённость уходит.

Пример. Вычислить

Решение. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень переменной:

Вычисление пределов с неопределённостью типа подробно рассматривалось при вычислении пределов последовательностей, все сделанные там замечания справедливы и при вычислении пределов функций с данным типом неопределённости.

Упражнения

Вычислить пределы:

1. Ответ: .

2. Ответ:

3. Ответ: .

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ: 2