III в предельном выражении присутствуют тригонометрические функции.
В
этом случае для раскрытия неопределённости
используется
I специальный (замечательный) предел
Этот
предел позволяет заменять функцию синус
при достаточно малых значениях аргумента
самим аргументом, т.е.
при
.
Для более общего случая I специальный (замечательный) предел имеет вид:
Пример
1.
Вычислить
Решение. Т.к. при , аргументы также стремятся к 0, то можно заменить тригонометрические функции, стоящие в предельном выражении, их аргументами:
Пример
2.
Вычислить
Решение. Выполним преобразование предельного выражения:
Пример
3.
Вычислить
Решение. Выполним в предельном выражении следующие преобразования
тогда
=
Пример
4.
Вычислить
Решение. Применим в предельном выражении определение тригонометрических функций тангенс и котангенс, а затем I специальный предел:
Пример
5. Вычислить
Решение.
Сделаем замену
тогда
,
.
Упражнения
Вычислить пределы:
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
Ответ:
4.
Ответ:
5.
Ответ:
6.
Ответ:
7.
Ответ:
8.
Ответ:
9.
Ответ:
10.
Ответ:
11.
Ответ:
12.
Ответ:
2.3.3 Раскрытие неопределенности типа .
При раскрытии неопределённости типа применяют различные алгебраические преобразования предельного выражения, в результате чего получают неопределённости типа или , которые раскрываются описанными выше способами.
Пример
1.
Решение.
Умножим и разделим предельное выражение
на
:
Пример
2. Вычислить
Решение. Выполним в предельном выражении вычитание дробей, приведя их для этого к общему знаменателю:
Упражнения.
Вычислить пределы:
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
Ответ:
4.
Ответ:
5.
Ответ:
-1
6.
Ответ:
7.
Ответ:
8.
Ответ:
9.
Ответ:
10.
Ответ:
11.
Ответ: