3.4. Теоремы Карно

Вернемся к циклу Карно для дальнейшего развития полученных результатов. Продолжаем пока рассматривать только одни обратимые циклы.

Докажем первую теорему Карно, которую можно сформулировать так:

к.п.д. тепловой машины, работающей при данных значениях температур нагревателя и холодильника, не может быть больше, чем к.п.д. машины, работающей по обратимому циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодильника.

Пусть имеются две тепловые машины с общими для них нагревателем и холодильником: машина 1, работающая по обратимому циклу Карно, и

машина 2, отличающаяся от первой либо необратимостью процессов в ней, либо родом рабочего вещества. Предположим сначала, что η '< η ".

Соединим машины (общим валом, ременным соединением и т.п.) так, чтобы одна из них могла приводить в движение другую. Пусть машина 2 работает по прямому циклу, т.е. получает теплоту Q от нагревателя, совершая работу и передает холодильнику количество теплоты, равное

Q - .

При этом она приводит в движение машину1 так, что эта машина совершает обратный цикл, т.е. работает как холодильная машина. Следовательно, машина 1, за счет совершаемой над ней работы машиной 2, переносит теплоту от холодильника к нагревателю. Пусть машина 1 передает в каждом цикле нагревателю количество теплоты Q, т.е. такое же, какое за один цикл поглощает машина 2. необходимая для этого работа пусть будет равна . Заимствованное машиной 1 от холодильника тепло равно, значит,

Q – .

После одного цикла в комбинированной машине 1-2 мы получим следующий результат:

1. Нагреватель не претерпел никаких изменений, так как машина 1 передала ему столько же тепла, сколько отняла машина 2.

2. Рабочее тело в каждой из машин вернулось в исходное состояние, совершив круговой процесс, т.е. также не претерпев никаких изменений.

3. Холодильник получил от машины 2 теплоту Q – , а машина 1 отняла у него теплоту Q - , и так как, по предположению, η'< η", то > и

Q – > Q - .

Это значит, что единственным результатом всего цикла явилось извлечение теплоты, равного - , и превращение его в работу. Но это противоречит принципу Томсона. Следовательно, η" не может быть больше, чем η ' обратимой машины Карно.

Докажем теперь справедливость второй теоремы Карно о независимости к.п.д. обратимой машины Карно от рода рабочего тела.

В обратимой машине Карно рабочим телом до сих пор являлся идеальный газ, однако можно показать, что это не является обязательным. Пользуясь вторым началом в формулировке Клаузиуса, можно доказать принципиально важное положение, известное как теорема Карно - Клаузиуса: коэффициент полезного действия обратимой машины Карно не зависит от рода посредствующего тела, совершающего работу в этой машине. Для доказательства представим себе две обратимые машины Карно, работающие в системе с одним и тем же на­гревателем и одним и тем же холодильником; температуры последних соответственно равны и . Пусть в первой машине (1) работающим веществом является идеальный газ, а во второй (2) какое-либо другое вещество. Можно показать, что к. п. д. обеих машин не могут отличаться друг от друга, Допустим, например, что полезные работы, даваемые обеими машинами, одинаковы

А'=А", т.е.

но к. п. д. различаются потому, что количества отданного и полученного тепла у них различны

и, значит, η '< η ".

Докажем, что это невозможно. Превратим машину 1 в обратную машину Карно; мы знаем, что от этого превращения величина ее к. п. д. останется без изменения. В результате действия обеих машин теперь будет получен следующий итог:

- полезная работа машины 2 полностью будет скомпенсирована в машине 1, где это будет работа по сжатию (согласно нашему первому допущению); так как то нагреватель теперь получит тепла( ) больше, чем отдаст ( );

- так как , то охладитель отдаст тепла ( ) больше, чем получает ( ).

Общий итог сводится к тому, что в системе должен произойти переход некоторого количества теплоты от холодного тела (охладителя) к более нагретому (нагревателю), причем этот переход (отрицательный процесс) не компенсируется ника­ким положительным процессом. Согласно второму началу тер­модинамики этого не может быть и, значит, η '= η ". Теорему можно доказать, исходя также из допущения одинаковых получаемых теплот в первой и второй машинах при различных полезных работах.

Таким образом, к. п. д. обратимой машины Карно всегда выражается соотношением , независимо от рода работающего вещества, что дает нам возможность рассматривать эту формулу как общее соотношение, относящееся ко всем веществам, а не только к идеальному газу. Общее зна­чение выражения (6) видно также из того, что при выводе со­кратились множители, характеризующие свойства идеального газа, и поэтому к. п. д. машины Карно не должен зависеть 'от природы работающего вещества. Заметим, что при этом агрегатное состояние вещества не имеет значения, и цикл Карно может быть проведен как с твердым, так и жидким телом.

Продолжая дальнейшие обобщения, можно отвлечься от образа какой-то машины и говорить просто о циклах, подразумевая под циклом замкнутый процесс, в котором вещество по окончании цикла возвращается в начальное состояние и происходит обмен теплом между двумя телами - нагретым и холодным. Обращение к циклическим процессам при решении задач термодинамики часто оказывалось весьма полезным, так что со временем превратилось в так называемый метод циклов, применение которого будет рассмотрено позднее.

Из формулы

для простейшего цикла Карно при сравнении с формулой

Следует

,

т. е.:

В еличину - иногда называют приведенной теплотой, относя ее к тому или иному телу. Заметим, что из (3,4) следует равенство приведенных теплот нагревателя и холодильника в машине Карно.

Можно показать, что простейший цикл Карно можно всегда разбить на два или больше циклов промежуточными адиабатами (рис. 7). Такое деление цикла является законным по тому, что эти промежуточные адиабаты проходятся в противоположных направлениях и оба процесса по такой адиабате взаимно полностью компенсируются. Разобьем цикл Карно на два цикл.а с помощью адиабаты ав (см. рис. 7). Тогда теп лоты и < разделяются на части:

Рассмотрев порознь каждый из образованных циклов, получим опять равенство приведенных теплот согласно :

Сложив эти равенства, находим:

и вообще при разделении на несколько циклов подобным же образом:

Можно применить обратный прием, образуя общий цикл из нескольких циклов, и тогда для составного цикла вновь получим формулу . Очевидно, вполне допустимо составление разных циклов Карно, где участвуют нагреватели и холодильники с различными температурами в разных циклах. Обобщая выражение на циклов, находим при этом

Наряду с циклами, где происходит передача конечных количеств тепла и , можно представить себе так называемые элементарные циклы, в которых в пределе передаются бесконечно малые количества тепла d и d при конечной разности температур и . На диаграмме такие циклы изображаются бесконечно узкими искривленными вытянутыми лентами с бесконечно малыми отрезками изотерм. Для такого цикла, как ранее

Н аконец, пользуясь возможностью разбиения циклов на части и вводя элементарные циклы Карно, можно любой обратимый цикл разбить на большое количество узких элементарных циклов Карно, соприкасающихся по адиабатам (рис.8). При этом отрезки адиабат, лежащие внутри контура, проходятся каждый в противоположных направлениях и процессы взаимно компенсируются.

Некоторая ошибка получается вследствие замены непрерывного контура ступенчатыми изотермами сверху и- снизу, а также нескомпенсированными отрезками адиабат прилегающих к контуру. Однако при переходе к пределу, когда и стремятся к нулю, эта ошибка может быть сделана сколь угодно малой. Каждому элементарному циклу здесь соответствуют свои температуры и , так как линия контура вообще не представляет собой изотермы. На основании этих рассуждений последнее выражение для конечного числа элементарных циклов

переходит в пределе в соотношение

Следующим шагом на пути обобщений является переход от представлений передачи тепла от нагревателей и холодильников к более общему случаю, когда для контура на одинаковых правах рассматриваются положительные и отрицательные приведенные теплоты. Выражение можно представить в форме:

Знак минус перед вторым интегралом можно отнести к теплотам d , считая их отрицательными, и рассматривать выражение как алгебраическую сумму при переменных dQ и Т. Так как эта сумма относится ко всему контуру, то можно написать из последнего:

В ыражение представляет собой так называемый интеграл Клаузиуса для любого обратимого цикла. Мы пришли, следовательно, к .заключению, что интеграл приведенных теплот для любого обратимого цикла для всех веществ равен нулю. Это положение можно рассматривать как частную математическую формулировку второго начала. Из последнего соотношения следует, где константа является неопределенной постоянной интегрирования. Так как интеграл по замкнутому контуру от равен нулю и вследствие того, что изменение этой величины не зависит от формы пути, то мы приходим к выводу фундаментального значения, а именно, что бесконечно малая величина есть полный дифференциал некоторой функции параметров состояния

Отсюда следует новая математическая формулировка второго начала: величина есть полный дифференциал. Этим определением устанавливается существование энтропии как функции состояния.

Литература [1,5]

Лекция №4

Тема лекции: Энтропия и ее свойства

Цель лекции: Познакомиться с новой очень важной физической

величиной – энтропией:

План лекции:

I. Интеграл Клаузиуса и энтропия.

2. Вычисление энтропии.

3. Энтропийные диаграммы

4. Свойства энтропии:

1. Энтропия – однозначная функция состояния системы

2. Аддитивность энтропии

3. Энтропия – положительная величина

4. Изменение энтропии в открытых системах при обратимых

процессах

5. Единицы измерения и размерность энтропии

6. Основное уравнение термодинамики

7. Теорема о росте энтропии в изолированной системе

8. Энтропия и вероятность

9. Энтропия - мера беспорядка системы

10. Энтропия - мера отсутствия информации

11. Энтропия - мера деградации (рассеяния) энергии

12. Энтропия и теория тепловой смерти вселенной

4. Интеграл Клаузиуса и энтропия.

Интеграл Клаузиуса для любого обратимого цикла

(4.1). Следовательно, интеграл приведенных теплот для любого обратимого цикла для всех веществ равен нулю. Это положение можно рассматривать как частную формулировку второго начала термодинамики. Так как интеграл по замкнутому контуру от равен нулю, следовательно, изменение приведенной теплоты не зависит от формы пути, т.е.от вида процесса, значит бесконечно малая величина есть полный дифференциал некоторой функции состояния

(4.2).

Эта функция состояния S называется энтропией. Из выражения (4.2) следует

(4.3),

где константа является неопределенной постоянной интегрирования. Отсюда следует новая математическая формулировка второго начала термодинамики:

Величина есть полный дифференциал.

Этим определением устанавливается существование энтропии как функции состояния. Объединяя первое и второе начала термодинамики и учитывая выражение для количества теплоты через энтропию , получаем основное уравнение термодинамики:

или (4.4)