1 Общие сведения

Для принятия объективных и квалифицированных решений, связанных с вопросами технической эксплуатации, инженеру часто необходимо выявлять закономерности неизбежного рассеивания величин и параметров, характеризующих техническое состояния автомобилей в фиксированный момент, к определенному пробегу или момент наступления исследуемого события. Особенностью этих закономерности является то, что они получаются путем обобщения индивидуальных реализаций случайной величины и их описания при помощи одного из теоретических законов распределения. Вид и параметры закона распределения определяются действием совокупности случайных факторов.

Задачи выбора закона распределения, количественной оценки его параметров, расчет знаний критериев согласия между теоретической и экспериментальной кривыми выбранного закона распределения относятся к задачам обработки статистических данных методами математической статистики.

Закон распределения характеризует вероятность возникновения тех или иных индивидуальных реализаций случайной величины. Знание законов распределения случайных величин позволяет использовать имеющийся математический аппарат, определять количественные показатели надежности машин, механизмов, устройств и решать практические задачи их технического обслуживания и ремонта. Изучение законов распределения случайных величин имеет не только описательное значение, но и большое самостоятельное значение, их знание позволяет:

-глубже познать существо изучаемого процесса, перейдя от его описания к количественным характеристикам;

- обобщить аналогичные процессы;

- более точно проводить расчеты по надежности, определить рациональную периодичность профилактики, межремонтные пробеги и т.д.

- накапливать количественные характеристики и описание законов распределения и более обоснованно проводить расчеты при экспериментального изучения самого процесса.

Закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины, однако при малом числе наблюдений используется числовые характеристики.

Случайную величину можно достаточно полно охарактеризовать, определив ее наиболее вероятное значение и рассеяние относительно него.

Для описания наиболее вероятного значения случайной величины использует математическое ожидание, которое является положением центра группирования значений случайной величины. Математическое ожидание вычисляют как среднее арифметическое значений случайной величины. В качестве характеристики рассеяния используют дисперсию- сумму квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания.

Математическое ожидание и дисперсия, ввиду малого объема выборки и ее случайности, является случайными величинами. Поэтому на практике выборочные числовые характеристики подвергают некоторому исправлению. Исправленные числовые характеристики называют оценками.

2 Оценки характеристик случайной величины

Среднее статистическое значение определяется оп формуле:

(2.1)

где

Статистическая дисперсия определяется по формуле:

(2.2)

Часто используется величина, равная квадратному корню из дисперсии, измеряемая в тех же единицах, что и случайная величина, и называемая средним квадратическим отклонением:

(2.3)

Иногда для описания случайной величины полезно знать коэффициент вариации, который вычисляется как отношение среднего квадратического отклонение к среднему арифметическому:

н=

Пример 1 Время исправного состояния рулевого управления автомобиля КамАЗ представляет собой случайную величину. В результате наблюдения были получены 15 значений времени исправного состояния рулевого управление в тыс. км пробега:

13,27,19,23,58,32,39,51,38,47,33,55,57,59 и 44.

Необходимо найти характеристики случайной величины.

Найдем оценку математического ожидания с помощью формулы (2.1):

=(13+27+…+44)/15=595/15=39,67

Оценку дисперсии можно найти с помощью формулы (2.2), но на практике, для облегчения расчетов. Используют следующее соотношение:

Таким образом ,оценку дисперсии проще найти по формуле

Среднее квадратическое отклонение определим как корень квадратный из дисперсии

S= =14,95

Коэффициент вариации определим по формуле(2.4):

н =

На практика, для удобства представления и обработки, данные , полученные в результате наблюдений, группируют по интервалам. Группированные данные представляют в виде границ интервалов и количества наблюдений, попавших каждый интервал. В этом случае значением, представляющим каждый интервал с количеством попаданий служит середине интервала, которую вычисляют по формуле:

(2.5)

где -наименьшее значение из данных наблюдений;

х- величина интервала;

j - номер интервала(j=0,1,2,…k-1);

k- количество интервалов группирования.

При выборе величина интервала группирования учитывают следующие принципиальные положения:

-величина х выбирается постоянной для всех интервалов;

-выбор величина х зависит от количества наблюдений и разброса их

значений, рекомендуется задавать величину интервала такой, чтобы

получилось не менее 6 и не более 20 интервала:

- рекомендуется определять количество интервалов k при заданном

количестве n по формуле Стенжерса:

k ,31gn

где n-объем выборки

Очевидно, что когда данные расположены по интервалам, то некоторая часть информации теряется. Так, среднее значение и дисперсия, вычисленные по группированным данным, будут отличаться от значений, вычисленных по негруппированным данным. Данное отличие при расчете среднего значения и дисперсии, зависящее главным образом от величины интервала, очень незначительно и в большинстве случаев несущественно. Кроме того, группировка имеет свои преимущества, если необходимо обрабатывать большое количество данных. На практике группировку нужно применять когда велико и число наблюдений, и число различных значений среди них.

В случае группированных данных, формулы (2.1) и (2.2) приобретают вид:

(2.7)

(2.8)

где x_j - середина j-го интервала;

m_j -число наблюдений в j-м интервале.

Пример 2 Разжимные кулаки ножных тормозов автомобилей ЗиЛ-431410 заменялись в эксплуатации при превышении допустимого износа рабочих поверхностей и мест сопряжений со втулками кронштейнов. В процессе наблюдений было зафиксировано 45 первых замен разжимных кулаков. Значения наработок на отказ в тыс. км:

251,7 201,4 192,9 70,0 198,9 133,5 125,0 260,6 173,2 223,1 234,0 255,3 227,3

144,3 238,5 167,6 250,8 217,1 102,1 199,2 246,6 163,6 192,2 205,2 329,9 283,8

177,7 209,6 233,0 165,6 165,1 218,3 231,8 145,6 265,0 197,6 246,0 139,9 190,3

226,5 236,1 223,8 241,8 160,0 118,7

Необходимо найти характеристики случайной величины.

Сгруппируем данные наблюдений.

Вычислим приближенное количество интервалов группирования по формуле (2.6):

k = 1 + 3,3lg45 = 6,45.

Полученное значение округляем в меньшую сторону k = 6.

Упорядочим значения наработок в порядке возрастания:

70 102,1 118,7 125 133,5 139,9 144,3 145,6 160 163,6 165,1 165,6 167,6 173,2

177,7 190,3 192,2 192,9 197,6 198,9 199,2 201,4 205,2 209,6 217,1 218,3 223,1

223,8 226,5 227,3 231,8 233 234 236,1 238,5 241,8 246 246,6 250,8 251,7 255,3 260,6 265 283,8 329,9

Рассчитаем величину интервала группирования:

Δх = (x_max – x_min)/k = (329,9-70)/6 = 43,3.

С помощью таблицы 2.1 подсчитаем число попаданий результатов наблюдений и середину каждого интервала группирования.

Таблица 2.1 – Подсчет xj и mj

Номер интервала	Границы интервалов	Середина интервала, xj	Число попаданий, mj
1	70 -113,3	91,7	1
2	113,3 -156,6	135	1
3	156,6 -200	178,3	6
4	200 -243,3	221,6	13
5	243,3 -286,6	264,9	15
6	286,6 -329,9	308,2	9

Найдем оценку математического ожидания с помощью формулы (2.7):

= (91,7·1 + 135·1 + … + 308,2·9)/45 = 242,8.

Найдем оценку дисперсии по формуле (2.8):

S² = (1/(45 - 1))/((91,7 - 242,8)²·1 + (135 - 242,8)²·1 + … + (308,2 - 242,8)²·9)=

=62895,5.

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации определяются аналогично примеру 1:

Данные числовые характеристики называют точечными, так как они характеризуют изучаемую случайную величину одним числом. При небольшом числе испытаний указанные характеристики, как правило, отличаются от их истинных значений. В связи с этим, наряду с точечными характеристиками применяются так называемые интервальные оценки.