4 Подгонка теоретических распределений к эмпирическим

Для описания случайной величины с помощью закона распределения вначале необходимо определить, к какому параметрическому семейству он принадлежит. Предварительно теоретический закон распределения может быть подобран, исходя из следующих рекомендаций:

а) принципиальный характер кривой распределения назначается по теоретическим соображениям, связанным с существом задачи, или аналогичным задачам;

б) в некоторых случаях теоретическую кривую выбирают, учитывая внешний вид статического распределения;

в) иногда полезно использовать систему кривых Джонсона или Пирсона, каждая из которых зависит от четырех параметров, и выбор нужной кривой можно осуществить с использованием специально разработанных графиков;

г) при использовании ЭВМ для расчетов можно определить несколько законов распределения и выбрать наилучший. В качестве критерия принимают наилучшее согласие теоретической и экспериментальной кривых распределения.

Для определения параметров выбранного закона распределения в математической статистике разработан ряд методов. Наиболее часто используют метод моментов, согласно которому параметры выбирают с таким расчетом, чтобы важнейшие числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам.

Для определения точечных оценок используют также метод наименьших квадратов, при котором сумма квадратов отклонений должна обращаться в минимум.

В ряде случаев находит применение метод наибольшего (максимального) правдоподобия, выражаемый функцией

(4.1)

Сущность метода максимального правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки математического ожидания X или другого параметра распределения выбирается значение аргумента, которое обращает функцию L в максимум. Это значение является функцией от х1, х2, ...,хn и называется оценкой наибольшего (максимального) правдоподобия, определяют его по известным правилам дифференциального исчисления. Следовательно, для определения оценки максимального правдоподобия необходимо решить уравнение:

(4.2)

Метод наибольшего правдоподобия обладает важными преимуществами. Он всегда приводит к оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию, и наилучшим образом использует всю информацию о неизвестном параметре. Однако применение этого метода связано с необходимостью решения сложных систем уравнений. Поэтому наиболее приемлемым методом для определения параметров законов распределения является метод моментов.

Для экспоненциального, нормального и логарифмически-нормального распределений оценки параметров, найденных методом наибольшего правдоподобия и методом моментов, совпадают. Формулы, используемые далее для вычисления оценок параметров законов нормального, экспоненциального, логарифмически нормального распределений и распределения Вейбулла получены методом моментов.

4.1 Определение оценок параметров экспоненциального закона

Оценка параметра распределения, л, находится по формуле:

л = 1 / Х, (4.3)

где Х - оценка математического ожидания выборки.