5 Проверка соответствия с помощью критериев согласия

Соответствие принятого (теоретического) закона распределения экспериментальному при достаточно большом объеме выборки данных (результатов наблюдений) оценивается по критериям согласия.

Обычно проверка содержит следующие основные этапы:

− определяют некоторое число, называемое критерием согласия, основываясь на полученных статистических данных;

− определяют вероятность получения статистических данных, адекватных вычисленному критерию при условии, что закон распределения выбран правильно; это выполняют с помощью таблицы процентилей распределения критерия;

− если вероятность получить вычисленное значения критерия, адекватное статистическим данным, мала, то принятая статистическая модель распределения не дает правильного описания данных.

Слова "малая вероятность" зависят от мнения потребителя и последствий вызываемых отклонением модели. Вероятность события мала при значениях Р, равных 0,10; 0,05 и менее. Если же вероятность получения адекватного вычисленного критерия довольно большая, то нет оснований считать, что модель не подходит.

Однако следует четко представлять, что эта методика позволяет отвергнуть модель как неправильную, все же она не позволяет доказать, что модель верна. Исход статистических испытаний в значительной мере зависит от числа имеющихся данных: чем больше данных, тем больше шансов отвергнуть неправильную модель. Если данных очень мало, то часто невозможно установить неадекватность даже такой модели, которая существенно отличается от принятой.

Разработано множество критериев для оценки справедливости принятых допущений о распределениях. Некоторые критерии справедливы лишь для определенных моделей, другие применимы для широкого круга распределений.

5.1 Проверка с помощью критерия Пирсона

Основным преимуществом этого критерия является то, что он может быть использован для проверки допущения о любом распределении, даже в случае, если не известны значения параметров распределения. Главный недостаток критерия – его нечувствительность к обнаружению адекватной модели, когда число наблюдений невелико. На практике при применении критерия Пирсона необходимо, чтобы число наблюдений, попавших в интервал, было не менее пяти. Если на какой то интервал попадает менее пяти значений, его объединяют с соседним.

В случае, когда значения параметров распределения определены, полученные в пункте 2.1 эмпирические частоты попадания исходных данных в интервал mj сопоставляются с частотами, вычисленными по теоретическому уравнению плотности распределения вероятностей m׳j, вычисляемые по формуле:

m׳j = n · fj · ΔL, (5.1)

где n - объем выборки;

fj - плотность распределения вероятностей, вычисленная по

теоретическому уравнению плотности распределения принятого закона для середины каждого интервала.

Критерий Пирсона записывается в виде следующего условия:

(5.2)

где χ² вычисляется по формуле:

(5.3)

k – число степеней свободы.

Число степеней свободы определяется:

- для однопараметрического распределения по формуле:

k = r – 1, (5.4)

где r – количество интервалов;

- для многопараметрического распределения по формуле:

k = r – s, (5.5)

где s – число наложенных связей, определяемое по формуле:

s = п + 1, (5.6)

где п – число параметров закона распределения.

По таблице Б5 приложения Б с помощью линейной интерполяции определяется значение критической вероятности Ркр. (χ2;k), затем при помощи условия (5.2) делают вывод о принадлежности опытных данных к рассматриваемому закону.

Пример 8 С помощью критерия Пирсона определим соответствие данных из примера 2 нормальному закону.

Определим значения функции плотности распределения вероятностей на каждом интервале по теоретическому уравнению. Теоретическое уравнение для нормального закона имеет вид:

где mt и σ - параметры распределения;

t – переменная, в качестве которой принимаем середины интервалов.

Расчеты удобно проводить с помощью таблицы 5.1.

У нормального закона распределения два параметра (п = 2), значит число наложенных связей s = 3. Так как число интервалов сократилось за счет объединения интервалов, число степеней свободы k = 2. Далее по таблице Б5 приложения Б по полученным значениям k = 2 и χ2 = 1,6 методом линейной интерполяции находим значение Ркр.:

Таблица 5.1 – Расчет значения χ²

Номер интервала j	Середина интервала xj	Теоретическое значение функции плотности распределения вероятности f(xj)	Теоретическая частота m׳j	Опытная частота mj
1	86,24	0,000168			0,01
2	118,7	0,000765
3	151,2	0,002375
4	183,7	0,005034	7,36	7	0,02
5	216,2	0,007282	10,65	9	0,25
6	248,7	0,007190	10,51	10	0,02
7	281,2	0,004845			1,29
8	313,7	0,002229

Гипотеза о принадлежности опытных данных нормальному закону не отвергается.