Вариант 31

П остройте двумя способами точку М, делящую направленный отрезок АВ в отношении  = .

Р ешение. I способ: по определению точка М делит направленный отрезок АВ в отношении  = , если АМ = МВ. Выясним расположение точки М относительно точек А и В. Так как  = > 0, то точка М лежит между точками А и В. Так как |AM| = ּ|MB|, т.е. |AM| = |MB| или , то отрезок АВ надо разделить на 9 + 5 = 14 равных частей (рис.5), отсчитать от точки А 9 частей и поставить точку М.

^● ا ا ا ا ا ا ا ا ^● ا ا ا ا ^●

П о чертежу проверяем: действительно, АМ = 9 ּ МВ = MB.

I I способ: по определению деления отрезка в данном отношении АМ = МВ. Выразим вектор АМ не через МВ, а через АВ. Для этого найдем МВ: МВ = АВ  АМ АМ = (АВ  АМ) АМ + АМ = АВ АМ = АВ АМ = АВ.

Так как > 0, то АМ сонаправлен с АВ. Длина вектора АМ составляет длины вектора АВ. Поэтому делим вектор АВ на 14 равных частей и от точки А в направлении В откладываем 9 таких частей, получаем точку М (рис.5).

По чертежу проверяем, что АМ = МВ.

Индивидуальное задание № 6

На плоскости дан отрезок МР. Точки А, В, С, D, Е, Н лежат внутри этого отрезка так, что МА = АВ = ВС = СD = DЕ = ЕН = НР (рис.6). Найдите двумя способами простое отношение трех точек:

А В С D Е Н

(ВМ, Р). (РС, М). (АМ, D). (ЕМ, Н). (ЕР, А). (DМ, Р). (СВ, Р). (РD, В). (НМ, Р). (РЕ, В).

(СМ, Р). (РВ, А). (МЕ, Р). (DР, В). (АМ, Р). (НР, С). (МВ, Р). (СМ, Е). (СМ, D). (DМ, Е).

(МD, Р). (НР, М). (МА, Р). (DА, Н). (МС, Р). (НD, А). (РН, С). (СН, А). (РН, В). (СА, Н).

Вариант 31

Найдите двумя способами простое отношение трех точек λ = (DС, Н).

Решение. I способ: по определению DН = λּНС. Так как вектор DН противоположно направлен вектору НС (см. рис.7), то λ < 0.

М А В С D Е Н Р

|DН| = | λ |ּ|НС|. По чертежу (рис.7) находим, что , следовательно, длина вектора DН составляет длины вектора НС, т.е. |DН| = ּ |НС| | λ | = , а т.к. λ < 0, то λ =  .

Ответ: (DС, Н) =  .

I I способ: выберем на плоскости аффинную систему координат М, е₁, е₂, где е₁ = МА (рис.8).

е₂

М е₁ А В С D Е Н Р

Найдем координаты точек D, С и Н в этой системе: D(4; 0), С(3; 0), Н(6; 0).

По формулам деления отрезка в данном отношении в координатах имеем: х_Н = , т.е. 6 = , откуда λ =  . По чертежу проверяем векторное равенство DН =  НС.

Ответ: (DС, Н) =  .