Лекция №13 Модели системы с распределенными параметрами

Рассмотрим более общие случаи, в которых параметры каждой точки тела или среды зависят от параметров соседних точек. Описываются такие процессы нестационарными дифференциальными уравнениями в частных производных с краевыми условиями.

Численное решения таких задач целесообразно осуществить методом конечных разностей, вводя дискретные переменные ,x,y,…,t, т.е. описывая время процесса: =k, а координаты пространственной сетки xy…: x=ix, y=iy,….

Откуда после замены производных конечными разностями для параметров t

;

;

; …

В результате подстановки в дифференциальное уравнение получим выражение для расчета параметра t в i, j-м узле сетки в (k+1)-й момент времени по известным для k-го момента параметрам окружающих узлов сетки:

(13.1)

где значения переменных принимаются в соответствии с параметрами центрального узла сетки в k-й момент времени.

Уравнение типа (13.1) решается в явном виде относительно , что позволяет последовательно обходя все узлы сетки по столбцам и строкам сеточного поля, определить распределение параметра t через время , 2,…,k от заданного в начальный момент =0.

На границах тела, где уравнение (13.1) не может быть использовано, так как граничные точки не окружены со всех сторон узлами сетки, используется разностная форма граничных условий

(13.2)

где - параметр соседней с граничной внутренней точки тела, - параметр граничной точки, - значения параметра окружающей среды, , , … - значения переменных, принимающиеся в зависимости от параметра в k-й момент времени

Описанное в (13.1) и (13.2) приближение модели к реальному процессу по геометрии изделия, по действительной зависимости свойств от изменяющихся параметров с течением времени, позволяют вплотную подойти к построению имитационной модели. При необходимости в подобного рода моделях могут быть приняты в расчет особенности конкретных технологических процессов воспроизводящие ход реального процесса во времени в различных точках рабочей зоны.

Лекция №14

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Основные понятия корреляционного, регрессионного

и дисперсионного анализа

Для технологических экспериментов, характерны статистические объекты исследований, в которых имеют место стохастические или корреляционные взаимосвязи между параметрами и факторами. Получить математическую модель технологического процесса- значит найти математическое описание этих взаимосвязей.

В задачу корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа входит получение на основании экспериментальных данных математической модели процесса и ее анализ. Методы корреляционного и регрессионного анализа применимы только для таких параметров, которые при изучении физической природы объекта являются взаимосвязанными.

На первом этапе обычно оценивают степень тесноты взаимосвязи значений функции отклика с одной или несколькими независимыми переменными. В первом случае используется коэффициент парной корреляции r_yx, во втором - коэффициент множественной корреляции .

Коэффициент парной корреляции:

(14.1)

где n - объем выборки, и - средние арифметические значения y_i и x_i в рассматриваемой выборке, S_y и S_x их средние квадратические отклонения.

Коэффициент множественной корреляции с использованием метода определителей находится по формуле

(14.2)

где m - число независимых переменных, D - определитель, составленный из всех коэффициентов парной корреляции, D₁₁- определитель, получающийся из D исключением левого столбца и верхней строки.

;

Значения r_yx (14.1) и (14.2) находятся в пределах от -1 до +1. Если они достоверны, т.е. существенно отличаются от 0, значит между исследуемыми факторами имеется линейная корреляционная зависимость. В противном случае эта зависимость отсутствует, либо является существенно нелинейной. В результате корреляционным анализом подтверждается наличие взаимосвязей между исследуемыми факторами.

На следующем этапе обработки экспериментальных данных с помощью регрессионного анализа выбирают модель, в наилучшей степени описывающую указанные взаимосвязи. Уравнение, по которому могут быть найдены числовые значения выборочных средних функций отклика при соответствующих значениях независимых переменных называется уравнением регрессии. В общем случае оно может быть записано в виде

(14.3)

При аппроксимации неизвестных функций отклика (14.3) в математической статистике часто используют полиномиальные модели, а наиболее часто - простейшие из них - квадратичные.

(14.4)

где b₀, b_i, b_ij, b_ii – коэффициенты регрессии.

С позиций статистики полиномиальная модель (14.4) удобна тем, что позволяет увеличить степень точности аппроксимации за счет повышения порядка полинома.

При определении параметров уравнения регрессии все переменные и соотношения между ними выгодно выражать в стандартизированном масштабе. Значения переменных в стандартизированном масштабе определяются по формуле:

,

где x_i - значения переменных в натуральном масштабе, S_x – их среднеквадратичные отклонения от среднеарифметического значения .