Лекция №21 Ортогональное планирование экспериментов

Если поверхность отклика является существенно нелинейной, тогда в уравнение модели необходимо ввести квадратичные члены второго порядка. Для этого достраивают матрицу в соответствии с планами эксперимента второго порядка.

Расширенная матрица содержит:

— N₁ опытов в точках ДФЭ - ядро плана, из которого определяются линейные члены и их взаимодействия;

— n₀ опытов в центре плана, для оценки ошибки опытов;

— 2k дополнительных опытов в «звездных» точках, расположенных по координатным осям на расстоянии .

Отсюда общее число опытов:

Число уровней варьирования каждого фактора (-;-1;0;+1;+) равно 5. Для облегчения вычислений и для того, чтобы параметры модели определялись независимо, план должен быть ортогональным. Это достигается введением вместо нового нормализованного фактора.

,

где u - номер опыта, - среднее значение .

при числе факторов k=2,3,4,5 соответственно равняется 0,667;0,73;0,80;0,776. (при k=5 применяется полуреплика). Кроме того выбирается «звездное» плечо  по формуле.

.

В силу ортогональности планирования все параметры нормализованной модели второго порядка определяются независимо друг от друга:

; , (ij);

; .

В числителях данных формул находятся суммы произведений значений отклика y_u и значений нормализованного фактора в соответствующем столбце x_iu, а в знаменателе - сумма квадратов значений нормализованных факторов из соответствующих столбцов.

Дисперсия оценок параметров модели находится по формулам:

; ;

; .

Недостатком центрального композиционного ортогонального планирования (ЦКОП) второго порядка является то, что параметры модели определяются с различной точностью, так как у них различны дисперсии. Поэтому информация о поверхности отклика, содержащаяся в модели, полученной после реализации ЦКОП второго порядка, различна в разных направлениях факторного пространства.

Лекция №22 Рототабельное планирование экспериментов

Существует другой способ центрального композиционного планирования второго порядка, позволяющий при помощи полученной модели описывать поверхность отклики с одинаковой точностью по всем направлениям, при этом остаточные дисперсии на одинаковых расстояниях от центра плана являются равными и наименьшими из возможных. Такое планирование получило название рототабельного. При центральном композиционном рототабельном планировании (ЦКРП) значение звездного плеча определяется о формуле:

,

где N₁ - число опытов ядра плана

В зависимости от выбора числа опытов в центре плана обеспечивается либо так называемая униформность, либо ортогональность плана. В первом случае дисперсия предсказания сравнительно мало изменяется или совсем не изменяется в радиусе x_n=1 от центра плана. Для обеспечения униформности плана должно соблюдаться равенство

,

в котором  для числа факторов k=2,3,4,5,6,7 равно соответственно 0,7844; 0,8385; 0,8705; 0,8918; 0,9070; 0,9185.

Чтобы рототабельный план был ортогональным, число опытов в центре плана должно соответствовать равенству

,

полученному из предыдущего при =1. Расчет по нему в некоторых случаях дает дробные значения n₀, поэтому их приходится округлять до ближайшего целого числа, нарушая при этом условия униформности. Однако эти отклонения оказываются настолько незначительными, что ими можно пренебречь.

Для построения матриц центрального композиционного рототабельного униформ планирования (ЦКРУП) рассчитывается и используется ряд характеристик (табл.22.1)

Таблица 22.1

Характеристики ЦКРУП второго порядка

Число факторов, k	Число опытов ядра, N1	Число «звездных» точек, 2k	Число нулевых точек, n0	«Звездное» плечо, 	Общее число опытов, N
2	4	4	5	1,414	13
3	8	6	6	1,682	20
4	16	8	7	2	31
5	16	10	6	2	32

Матрицы рототабельного униформ-планирования не ортогональны, поэтому параметры модели рассчитываются более сложным способом, чем при ортогональном планировании:

;

;

, (ij);

Дисперсии параметров модели

; ;

; .

Соответствующие условиям опытов значения d_i выбираются для конкретных случаев планирования эксперимента (табл.22.2)

Таблица 22.2

Значения d_i для вычисления параметров модели

k	N	d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7
2	13	0,2	0,1	0,1250	0,2500	0,1251	0,0187	0,1438
3	20	0,1663	0,0568	0,0732	0,1250	0,0625	0,0069	0,0695
4	31	0,1428	0,0357	0,0417	0,0625	0,0312	0,0037	0,0350
5	32	0,1591	0,0341	0,0417	0,0625	0,0312	0,0028	0,0341

Так как при планировании экспериментов несколько опытов проводятся параллельно при основном уровне факторов, то их результаты позволяют оценить дисперсию воспроизводимости

.

Проверка адекватности модели производится при помощи критерия Фишера. Дисперсия адекватности в данном случае определяется по формуле:

,

где y_up и y_uэ – расчетные и экспериментальные значения; - число статистически значимых параметров модели.

При использовании рототабельных планов исключать из модели без пересчета остальных можно только незначимые оценки b_i и b_ij . Исключение любого из незначимых параметров b₀ и b_ii требует пересчета остальных в данной группе.

При реализации намеченных планированием экспериментов важно учитывать требования рандомизации опытов, т.е. проведения опытов в однородных условиях, с одинаковой погрешностью в случайном порядке. Рандомизация проводится для того, чтобы изменения свойств материалов, характеристик оборудования, средств оснащения, установок и измерительных приборов вследствие их износа и разрушения, смены персонала и т.д. не вызывали, искажающего влияния изучаемых факторов и временного «дрейфа» параметров. Поэтому рандомизируют опыты, проводя их в случайном порядке, в отличие от нумерации в матрице планирования.