1.5. Аналітичний огляд типових математичних моделей гідроприводів вібраційної та циклічної дії

При розробці гідравлічних систем приводів різних технологічних машин основні параметри і характеристики гідропривода та конструктивні параметри складових деталей та вузлів гідроагрегатів вибирають, виходячи, в основному, із силових і кінематичних вимог до подолання технологічного навантаження, забезпечення величини ходу і швидкості руху робочих органів на робочому та холостому ходах [79]. Але досвід експлуатації гідрофікованих машин свідчить, що цих вимог недостатньо. Вібрація, нестабільність швидкості руху робочих органів, які часто виникають у гідроприводах, ведуть до зниження надійності машин та погіршення якості виконуваних робіт [79]. Саме тому дослідження динаміки гідропривода має велике значення.

У наукових роботах відомих вчених Т. М. Башти, В. М. Бермана, Ю. О. Бочарова, В. П. Бочарова, В. О. Васильченко, М. С. Гаминіна, І. З. Зайченка, В. В. Єрмакова, Б. Л. Коробочкіна, Ю. П. Майорова, К. Л. Навроцького, І. А. Немировського, Д. М. Попова, В. М. Прокофьєва, Ю. О. Сахна, В. К. Свєшнікова, В. Б. Струтинського, В. О. Федорця, О. М. Яхна та інших [9, 10, 13, 16, 17, 22 – 25, 30, 31, 33, 38, 39, 48, 50, 54, 56, 58, 77, 95, 100 – 102, 107, 152, 156, 158, 168, 170, 174, 188, 190] створені наукові основи і зроблено вагомий внесок в напрямках математичного моделювання, конструювання і розрахунку гідроприводів. У той же час специфічні особливості режимів навантаження, динамічних характеристик і кінематичних зв'язків гідроприводів, зокрема, вібраційного і циклічного переміщення робочих органів окремих технологічних машин із гідроприводом зумовили необхідність проведення подальших досліджень. Розробці математичних моделей специфічних робочих процесів в гідроприводах вібраційної та циклічної дії присвячені наукові роботи таких вчених, як: О. Д. Алімов, С. О. Басов, В. М. Баранов, М. С. Гаминін, І. Ф. Гончаревич, Д. М. Єшуткін, Ю. Є. Захаров, А. Ф. Кічігін, А. Г Лазуткін, З. Я. Лурьє, Д. М. Попов, В. М. Прокофьєв, В. М. Тіхенко, В. О. Федорець, І. А. Янцен та багатьох інших [4, 14, 15, 28, 30, 31, 34, 38, 40, 41, 48, 49, 71, 88 – 90, 95, 152, 156, 167, 182, 183, 188]. Особливо інтенсивні дослідження, зокрема, у напрямку створення гідроімпульсного привода для різного технологічного устаткування, проводяться протягом останніх майже 40 років у Вінницькому національному технічному університеті Р. Д. Ісковичем-Лотоцьким, І. Б. Матвєєвим, М. Є. Івановим, В. О. Пішеніним, О. В. Дерібо, Р. Р. Обертюхом, І. В. Коцом, М. М. Вірником, І. В. Севостьяновим та іншими [26, 36, 37, 46, 52, 62, 64, 66 – 70, 79, 92, 171]. Проте, проведений аналіз свідчить про відсутність детальних досліджень динаміки робочих процесів, обґрунтування закономірностей функціональної залежності між параметрами та характеристиками гідроприводів у випадку їх застосування для різних насосних агрегатів, що вимагає проведення подальших додаткових теоретичних та експериментальних досліджень для встановлення нових методів розрахунку гідроімпульсних приводів насосних агрегатів та блоків їх автоматичного керування.

З метою встановлення основних припущень, які висувались при складанні математичних моделей, розглянемо ряд типових математичних моделей для аналізу динаміки технологічних машин із гідроприводом у різних галузях промисловості, в яких використовуються такі машини.

Основи фундаментальної теорії статичних і динамічних процесів об'ємного гідропривода були викладені в ряді робіт проф. В. М. Прокофьєва і М. С. Гаминіна, Д. М. Попова та В. О. Федорця [30, 31, 38, 48, 188]. Окрім загальних питань об'ємного гідропривода, автори детально розглянули питання побудови динамічних моделей гідроприводів з об'ємним і дросельним управлінням [5].

Запропоновані ними математичні моделі гідроприводів складались з урахуванням наступних основних припущень:

– витрата на деформацію рідини прямо пропорційна об'єму рідини в напірному тракті і швидкості зміни тиску та обернено пропорційна модулю об'ємної пружності рідини, а, при необхідності, і приведеному модулю пружності (з урахуванням деформації стінок трубопроводу);

– втрати робочої рідини пропорційні перепадам тиску;

– гідродвигун сполучений з навантаженням жорсткою передачею без люфтів і врахування пружних властивостей;

– у першому наближенні враховується тільки лінійна частина втрат, яку часто називають в'язким тертям або активним опором, що припустимо при великих значеннях інерційного навантаження;

– швидкість приводного двигуна, а отже і насоса, приймається сталою;

– динамічний процес відбувається в околі усталеного руху привода при середньому положенні поршня в циліндрі;

– сухе тертя в гідродвигуні і навантаженні мале і в окремих випадках ним можна знехтувати;

– хвильові процеси в гідравлічних магістралях через їх малу довжину не впливають на динаміку привода;

– модуль пружності рідини – величина стала, незалежна від тиску і температури;

– нерозчинене повітря в рідині відсутнє;

– коефіцієнт в'язкості рідини і коефіцієнти витрати керованих дроселів гідропідсилювачів – величини сталі;

– температура рідини під час розглядуваного динамічного процесу не змінюється;

– гідравлічні втрати в трубопроводах між золотником і гідродвигуном малі, і ними можна знехтувати.

Прийняті припущення щодо руху гідравлічного привода у переважній більшості розглянутих цими дослідниками можна представити на прикладі системи, яка в простому випадку складається з двох рівнянь. Рівняння балансу витрат робочої рідини для такої системи записується у вигляді

, (1.1)

де – витрата дроселюючого золотника; – максимальне значення гідравлічної провідності робочого вікна золотника; x, x_m – поточне та максимальне переміщення золотника; – тиск живлення; р_Р = р₁ – р₂ – тиск навантаження; k_в – коефіцієнт витрат; l – довжина робочого дроселюючого вікна; – густина робочої рідини; Q_Г – витрата гідроциліндра; – витрата зовнішніх витоків гідроциліндра; – коефіцієнт витоків; – витрата перетоків між робочими камерами гідроциліндра; – коефіцієнт перетоків; – витрата на стиснення рідини; V – об’єм робочої камери гідродвигуна; Е_р – ефективне значення адіабатичного модуля об’ємної пружності.

Рівняння сил, виходячи з другого закону Ньютона, в загальному випадку можуть мати такий вигляд, як, наприклад, наведені у [30, с. 221]:

, (1.2)

де m – маса поршня зі штоком і приведена до них маса навантаження; – лінійна швидкість штока гідроциліндра; – рушійне зусилля; S_п – робоча площа поршня; – сила контактного (сухого) тертя; – сила в'язкого тертя; b – коефіцієнт в’язкого тертя; – сила пружного (позиційного) навантаження; – коефіцієнт позиційного навантаження; у – переміщення навантаження.

Після підстановки складових в рівняння витрати і сил отримуємо систему нелінійних диференційних рівнянь (1.3):

(1.3)

Основні висновки, які зроблені М. С. Гаминіним про динамічні властивості подібного гідропривода полягають в наступному [30, с. 227]:

– динамічність гідропривода підвищується із збільшенням р_живл і гідравлічної провідності керованих дроселів G_m;

– маса навантаження зменшує динаміку гідропривода, але в слідкуючих системах вимушена частота коливань привода, може бути співмірною з власною частотою коливань, що може викликати істотне зменшення запасів стійкості;

– для покращення динамічних властивостей гідропривода слід вживати заходів для зменшення або усунення вмісту газової фази в робочій рідині і вибирати таку рідину, модуль об'ємної пружності якої не зменшувався б помітно із збільшенням температури;

– дросельний гідропривод наділений досить слабкими демпферувальними властивостями і великою коливальністю в перехідному процесі;

– збільшення в'язкого тертя і перетоків рідини в гідродвигуні сприяють тільки збільшенню коефіцієнта відносного демпферування;

– позитивне позиційне навантаження збільшує запаси стійкості слідкуючого привода;

– тертя при великій масі навантаження демпфірує коливання гідропривода, а при малій масі навантаження створює люфтову характеристику, що виражається у появі зони нечутливості і погіршенні динаміки гідропривода.

Гідравлічні приводи вібраційних механізмів, які досліджували В. М. Баранов та Ю. Є. Захаров в роботі [8], конструктивно аналогічні приводам, які були розглянуті М. С. Гаминіним. Незалежно від М. С. Гаминіна, автори досліджували практично аналогічну математичну модель об'ємного гідропривода з насосною станцією зі сталими продуктивністю та тиском і управлінням гідродвигуном за допомогою золотникового гідророзподільника [8, с. 63]:

(1.4)

де – коефіцієнт стисливості стовпа робочої рідини; S – ефективна площа поршня; l₀ – початкова довжина робочої порожнини гідроциліндра; Е_пр – приведений модуль об'ємного стиснення робочої рідини; k_п – коефіцієнт пропорційності при визначенні перетоків вздовж поршня; k_р – коефіцієнт витрати через робоче вікно золотника; k_f – коефіцієнт пропорційності при визначенні площі відкриття робочого вікна золотника; х – відкриття робочого вікна золотника; g – прискорення вільного падіння; γ – питома вага робочої рідини; р₀ – тиск потоку робочої рідини, що підводиться; р_зл – тиск на зливі; ζ – коефіцієнт пропорційності при визначенні втрат тиску в трубопроводі; – перепад тиску на поршні; m_пр – приведена маса навантаженого поршня; b – коефіцієнт сили в'язкого тертя; с – жорсткість навантаження; F_тp – сила тертя; F – стала за значенням і напрямком сила.

При цьому були введені наступні припущення, які випливають з особливостей конструкції вібраційних механізмів з гідроприводом [8, с. 63]:

– нехтується залежність модуля об'ємного стиснення робочої рідини від тиску, оскільки забезпечується запобігання утворенню бульбашок газу в рідині;

– нехтуються зовнішні витоки, оскільки штоки поршнів приводів вібраційних машин, зазвичай, ущільнюються спеціальними ущільненнями;

– нехтується залежність коефіцієнта k_ст від ходу поршня, оскільки хід поршня зазвичай малий в порівнянні з приведеною початковою довжиною робочої порожнини гідроциліндра;

–  вважається, що навантаження на поршень складається з сили інерції, в'язкого тертя, пружної, сталої за значенням і напрямком сили і сталої за значенням сили, направленої проти швидкості поршня (“сили сухого тертя”).

Для обґрунтування нехтування хвильовими процесами в трубопроводах знайдено обмеження в довжині трубопроводів [8, с. 78]:

(1.5)

де f_max – максимальна робоча частота вібратора. Ця рівність, ймовірно, гарантує, що в гідролінії може поміститися не більше 0,1 довжини хвилі.

Автори застосовують наближені методи розв’язування системи диференційних рівнянь (1.4). В результаті отримують диференційне рівняння третього порядку відносно у. Отримане рівняння розв’язується методами послідовних наближень і малого параметра.

З приведеного огляду видно, що найповніше проводилися дослідження для гідросистем з відносно невеликими об'ємами і короткими трубопроводами.

В результаті проведеного аналізу математичних моделей можна зробити наступні висновки. Для розрахунку пристроїв гідравлічної автоматики традиційно використовуються методи, засновані на представленні фізичних параметрів пристроїв зосередженими. Такий підхід достатньо обґрунтований, оскільки найбільші частоти роботи гідравлічних пристроїв складають десятки герц, а розміри агрегатів рідко перевищують один метр. Лише наявність в гідравлічних системах довгих трубопроводів і вимушує розглядати питання про розподіленість пружно-інерційних параметрів [5].

Розробка теоретичних основ дослідження гідравлічних вузлів вібраційної та циклічної дії, керованих реверсивними пристроями клапанного чи золотникового типу, що аналогічні досліджуваним в даній роботі, пройшла ряд етапів свого розвитку [79]. Розрахунки, які проводилися на першому етапі, ґрунтувалися на простих математичних залежностях гідравліки і механіки [92]. В подальших дослідженнях у цьому напрямку для опису робочого процесу проводилося розбиття його на окремі фази, для яких складалися диференційні рівняння руху і балансу витрат робочої рідини з припущеннями про релейність спрацьовування АГР – клапана-пульсатора, тобто без врахування його динаміки [36, 62, 64]. Наступний етап досліджень аналогічних гідропристроїв, керованих клапанами-пульсаторами, почався з робіт Р. Д. Ісковича-Лотоцького, Р. Р. Обертюха, І. В. Коца та інших науковців, які надали можливість на основі спрощеної математичної моделі гідросистеми з дво- чи триходовими АГР – клапанами-пульсаторами створити науково обґрунтовану методику інженерних розрахунків цих пристроїв з урахуванням їх конструктивних параметрів, яка забезпечувала достатню для практики точність результатів [66, 70, 79, 181 та ін.].

На даний час при моделюванні досить складних робочих процесів динаміки гідравлічних приводів вібраційної та циклічної дії набув метод використання одиничних функцій, що дозволило перейти від поетапного складання рівнянь та їх поетапного розв’язку чисельними методами для окремих послідовних фаз робочого циклу до розв’язування однієї системи з обмеженою кількістю рівнянь, що надає можливість скоротити тривалість розв’язування подібних систем із використанням сучасних програмних продуктів (MATLAB, Мathcad, Maple та інших). Завдяки застосуванню подібних методів такі дослідження, щодо подібного устаткування, у Вінницькому національному технічному університеті проводяться Л. Г. Козловим, Ю. А. Бурєнніковим, В. О. Пішеніним, О. А. Рагозіним, О. В. Березюком та іншими [11, 12, 19 – 21, 69, 94, 157, 166].

Узагальнені математичні моделі динаміки робочих процесів гідроприводних насосних агрегатів та дослідження особливостей режимів їх роботи при перекачуванні будівельних та бурових розчинів тощо, розглянуті окремими дослідниками, серед яких найбільш відомими є роботи Л. М. Бритвіна, А. В. Васильєва, О. С. Казака, А. Т Кукоби, О. Г. Онищенка, В. І Пилипця, В. У. Уст'янцева та інших [18, 72, 73, 82, 116, 130, 146, 149, 192, 203]. В переважній більшості зазначених робіт гідропривод розглядається без врахування стисливості робочої рідини або її зміни із зростанням тиску, а також у використаних математичних моделях обмежено розглядаються закономірності функціонування блоків керування гідроприводами досліджуваних насосних агрегатів. Інших теоретичних досліджень гідравлічних приводів вібраційної та циклічної дії , використовуваних для привода виконавчих органів насосних агрегатів в різних галузях промисловості, нами не виявлено.

Проведений аналіз свідчить про необхідність подальших детальних досліджень динаміки робочих процесів, обґрунтування закономірностей функціональної залежності між параметрами та характеристиками гідроприводів у випадку їх застосування для різних насосних агрегатів.