Вариант 47
Задание 1.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
А
=
Задание 2.
Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
|
в)
|
б)
|
г)
|
Задание 3.
Дано
комплексное число z
= -6 / (
+i).
Требуется 1) записать число z
в алгебраической и тригонометрической
формах; 2) найти все корни уравнения w3+z
=0.
Задание 4.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 5.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z = 2x2 + 4xy + 6y2 ; A (4; 2); B (3,96; 2,04).
Задание 6.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
Z = ln (2x +3y); A (2; 2); a (-3; 2).
Вариант 48
Задание 1.
Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А (0; 2) и уравнения высот ВМ x + y = 4 и СМ y = 2x, М – точка пересечения высот. Сделать чертеж.
Задание 2.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до начала координат и до точки А (0; 5) относятся как 3:2. Сделать чертеж.
Задание 3.
Линия
задана уравнением в полярной системе
координат
Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
Задание 4.
Даны два линейных преобразования:
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x//1, x//2, x//3 через x1, x2, x3.
Задание5.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
Задание 6.
Составить
уравнения касательной и нормальной
плоскости кривой
в точке
Вариант 49
Задание 1.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
А
=
Задание 2.
Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
|
в)
|
б)
|
г)
|
Задание 3.
Дано
комплексное число z
=
/ (1-i
).
Требуется 1) записать число z
в алгебраической и тригонометрической
формах; 2) найти все корни уравнения w3+z
=0.
Задание 4.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 5.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z = 6x2 - 2xy +2x + 2y; A (2; 6); B (2,06; 5,92).
Задание 6.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
Z = 6x2у2 +10xy2 ; A (2; 2); a (4; 2).