Вариант 11

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы а(8; 2; 3), b(4; 6; 10), c (3; -2; 1) и d (7; 4; 11) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (4; 6; 5), A₂ (6; 9; 4), A₃ (2; 10; 10), A₄ (7; 5; 9).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г) ;

д) .

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = arcsin ; б) x = e^-t sin t; y = e^t cos t.

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

Задание 7.

Решеткой, длиной 120м., нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки?

Вариант 12

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a(10; 3; 1), b(1; 4; 2), c(3; 9; 2) и d (19; 30; 7) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄: A₁ (3; 5; 4), A₂ (8; 7; 4), A₃ (5; 10; 4), A₄ (4; 7; 8).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д) .

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = sin²x;

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

Задание 7.

Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Вариант 13

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 2; 3), b (2; -3; 1), c (-1; 2; 1), d (2; 2; 8)в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (6; 6; 2), A₂ (5; 4; 7), A₃ (2; 4; 7), A₄ (7; 3; 0).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г); ;

д) .

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = cos²x; б) x = e^{2 t}; y = e^{3 t}.

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

Задание 7.

Какого диаметра надо взять круг, чтобы в него можно было вписать прямоугольник с периметром, равным 40 см, и наибольшей площадью? Чему равна площадь искомого прямоугольника?