Індивідуальні завдання до лабораторної роботи №4

1. Знайдіть (аналітично та графічно) точки, в яких досягаються найбільше та найменше значення заданої на відрізку безперервної функції. Знайдіть нуль функції на заданому відрізку. Розв’яжіть рівняння f(x) = 0:

№	Функція	Відрізок
1.		[0; 6]
2.		[1; 4]
3.		[1; 4]
4.		[-3; 3]
5.		[0; 4]
6.		[-1; 5]
7.		[1; 9]
8.		[0; 3]
9.		[-3; 3]
10.		[2; 4]
11.		[-1; 2]
12.		[-1; 6]
13.		[1; 4]
14.		[-1; 7]
15.		[1; 5]
16.		[-4; 2]
17.		[-4; -1]
18.		[-2; 4]

Контрольні запитання:

1. Які шляхи пошуку екстремумів функцій в Mathcad Вам відомі.

2. Функція minerr та особливості її застосування.

3. Функції maximize та minimize та особливості їх застосування.

4. Функція root та особливості її застосування?

5. В чому полягає принцип графічного пошуку коренів рівняння?

лабораторна робота № 5

РОЗГАЛУЖЕНІ ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ ПРОЦЕСИ В СЕРЕДОВИЩІ MATHCAD.

Література до теми: [1-4].

Мета роботи:

1. Познайомитись з особливостями застосування функції if.

2. Познайомитись з особливостями застосування умовного оператора if.

3. Познайомитись з особливостями застосування пакету Mathcad в задачах математичної статистики.

Завдання 5.1. Використання умовної функції if в Mathcad.

Теоретична частина

Mathcad виконує оператори програм в порядку згори до низу (лінійний обчислювальний процес). Але за необхідності в Mathcad може бути організоване розгалуження. Цього можна досягти за допомогою кусочно-безперервної функції if або використовуючи умовний оператор if.

Функція if використовується для визначення функціональних залежностей, які поводять себе по різному зліва та зправа від деякої точки:

if(cond, tval, fval)

де cond (умова) – перший аргумент функції if. Якщо значення cond істина (або 1), то результатом буде значення другого аргументу tval (true value), інакше, якщо cond ложь (або 0) буде обчислене значення третього аргументу fval (false value).

Хід роботи:

• Обчислити значення кусочно-безперервних функцій g(x) та h(x). Побудуйте графіки функцій g(x) та h(x). Аргумент x змінюється на проміжку [-2, 2] з кроком 0,2. Побудуйте графіки функцій g(x) та h(x).

Нижче наведений фрагмент робочого документу Mathcad в якому наведені результати відповідних обчислень (див. рис. 5.1).

Рис. 5.1. Результат обчислень значень кусочно-безперервної функції

за допомогою функції if

Завдання 5.2. Використання умовного оператора if в Mathcad.

Теоретична частина

Дія умовного оператора if складається з двох частин. Спочатку перевіряється умова, що записана справа від оператора if. Якщо умова є вірною, виконується вираз, що знаходиться зліва від умовного оператора if. Якщо умова не вірна, відбувається перехід до наступної строчки програми.

Щоб вставити умовний оператор if в Mathcad, необхідно:

1. Встановити курсор у вільному місці робочого документу Mathcad.

2. На панелі Programming Toolbar (Програмування) клацнути на кнопці if. В робочому документі з’явиться шаблон оператора з двома місцями введення.

3. Спарава від оператора if вводиться умова, при цьому можна користуватися логічними операторами, вводячи їх з панелі Boolean (Булеві оператори), а зліва від оператора if вводиться вираз, який повинен виконуватися, якщо умова є вірною.

4. Якщо при виконанні умови повинні виконуватися одразу кілька виразів, треба мати кілька місь введення. Для цього необхідно встановити курсор на місце введення зліва від умовного оператора of та натиснути Add Line (Додати строчку програми) з панелі Програмування стільки разів, скільки строчок треба ввести.

Хід роботи:

• Обчислити значення кусочно-безперервної функції f(x) з використанням умовного оператора if. Аргумент x змінюється на проміжку [-2, 2] з кроком 0,2. Побудуйте графік функції f(x).

Нижче наведений фрагмент робочого документу Mathcad в якому наведені результати відповідних обчислень (див. рис. 5.2).

Рис. 5.2. Результат обчислень значень кусочно-безперервної функції

за допомогою умовного оператора if

Завдання 5.3. Використання умовного оператора if для побудови функції розподілу випадкової величини в Mathcad.

Теоретична частина

Mathcad має розвинений апарат роботи з задачами математичної статистики. З одного боку, Mathcad містить велику кількість вбудованих спеціальних функцій, що дозволяють обчислювати щільності, ймовірності та інші основні характеристики основних законів розподілу випадкових величин.

З іншого боку, в Mathcad запрограмована відповідна кількість генераторів псевдовипадкових чисел для кожного закону розподілу, що дозволяє ефективно проводити моделювання методами Монте-Карло. Є можливість будувати гістограми та розраховувати статистичні характеристики вибірок випадкових чисел та випадкових процесів, таких як середні, дисперсії, кореляції тощо. При цьому випадкові послідовності можуть як створюватись генераторами випадкових чисел, так і вводитися користувачем з файлів.

Нагадаємо, що дискретна випадкова величина , що приймає значення x₁ < x₂ < … < x_i < … з ймовірностями p₁, p₂, …, p_i, … може бути задана розподілом – таблицею наступного вигляду:

	x1	x2	…	xi	…	xn
p	p1	p2	…	pi	…	pn

Такі таблиці в середовищі Mathcad зручно зберігати у вигляді матриці з розмірністю 2n. Функція розподілу випадкової величини, що має наведений вище розподіл, має вигляд:

• Побудувати графік функції накопичення випадкової величини, що має наступний розподіл:

x	1	0	7	4	-2
p	0,1	0,5	0,1	0,1	0,2

Нижче наведений фрагмент робочого документу Mathcad в якому наведені результати відповідних обчислень (див. рис. 5.3).

Рис. 5.3. Результат побудови функції розподілу випадкової величини в Mathcad

Завдання 5.4. Застосування умовного оператора if в задачах розкладення кусочно-безперервних функцій в ряд Фур’є в Mathcad.

Теоретична частина

Для безперервної періодичної функції f(x) на відрізку [-, ] можна поставити у відповідність ряд часткових сум Фур’є S(x):

f(x)  S(x).

Обчислення часткових сум ряду Фур’є виконується за наступною формулою:

де a_k та b_k – коефіцієнти Фур’є, які обчислюються за формулами Ейлера-Фур’є:

• Побудувати графік f(x). Побудувати графіки часткових сум для n = 5, 10, 25, 50, 100: S(x, 5), S(x, 10), S(x, 25), S(x, 50), S(x, 100), та порівняти їх між собою та з графіком f(x).

Функція f(x) має наступний вигляд:

Нижче наведений фрагмент робочого документу Mathcad в якому наведені результати відповідних обчислень (див. рис. 5.4).

Рис. 5.4. Результат побудови ряду Фур'є в Mathcad

• Виконайте індивідуальні завдання до лабораторної роботи. Підготуйте звіт у вигляді електронного документу.