9. Разновидности матриц.

1. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей:

2. Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой, например . Аналогично этому матрица, имеющая только один столбец, именуется матрицей-столб­цом, например .

Транспонирование переводит матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.

3. Если m = n , то матрица называется квадрат­ной матрицей n-го порядка.

Диагональ членов квадратной матрицы, идущая из левого верхнего угла в ее правый нижний угол, называется главной. Другая же диагональ ее членов, идущая из левого нижнего угла в ее правый верхний угол, именуется побочной.

Для квадратной матрицы может быть вычислен определитель det(A).

4. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица на­зывается особенной, или вырожденной. В противном случае матрица именуется неособенной, или невырожденной.

5. Разновидности квадратных матриц:

Если все элементы квадратной матрицы, за исключе­нием элементов ее главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица имеет вид:

Ее определитель равен произведению элементов главной диагонали:

В частности, при диагональная матрица называется скалярной: .

При скалярная матрица называется единичной и обозначается символом Е.

. Ее определитель равен единице:

Если все элементы квадратной матрицы по одну сто­рону главной диагонали равны нулю, то матрица именуется треугольной (соответственно верхней или нижней).

- верхняя треугольная матрица.

10. Арифметические операции над матрицами.

1. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одного размера.

Пример 10.1:

3. Умножение матриц на скаляр.

Пример 10.2:

4. Умножение матриц.

Определение 10.1. Две матрицы размера и размера называются соответственными, если число столбцов в 1-й матрице A равно числу строк во 2-й матрице B, т.е. .

Перемножать можно только соответственные матрицы A размера и B размера .

Пусть A и B - соответственные матрицы.

Сформулируем правило умножения.

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица , элементы которой вычисляются по формулам

Здесь элементы i-й строки матрицы A попарно перемножаются с элементами j-го столбца матрицы B и складываются. В результате получается элемент произведения

Матрица C имеет размер .

Пример 10.3:

11. Свойства перемножения матриц.

1. Произведение матриц может равняться нулю при обоих множителях, отличных от нуля. Например:

2. Произведение матриц в общем случае не коммутативно.

Проиллюстрируем этот результат на примерах. Рассмотрим следующие случаи:

а) A и B - соответственные, а B и A - не соответственные.

Например:

; .

Для таких матриц A и B произведение не имеет смысла.

б) A и B -соответственные, B и A – соответственные.

; ;

AB: ; BA: AB и BA разных размеров и не могут сравниваться.

в) A и B - соответственные, B и A – соответственные и матрицы AB и BA одного размера, но AB BA. (A и B квадратные матрицы одного размера).

Пусть . Тогда . Следовательно,

3. Если матрицы A и B такие, что AB = BA, то говорят, что матрицы коммутируют друг с другом.

Рассмотрим случаи коммутативности квадратных матриц:

- скалярная матрица. Коммутирует с любой квадратной.

;

В частности, для единичной матрицы : .

Единичная матрица E в матричном исчислении играет ту же роль, что и единица в алгебре.

-диагональные матрицы коммутируют друг с другом.

5. Остальные законы алгебры выполняются.

;

;

.

Здесь A и B, A и С и B и C –соответственные матрицы; - число.

6. Транспонирование произведения.

Действительно,

.

7. Теорема 11.1.

Определитель произведения двух квадратных матриц n-го порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц: .

Доказательство проведем на примере матриц 2-го порядка.

что и требовалось доказать.