17. Метод Гаусса.

Рассмотрим теперь общий метод исследования и решения систем вида (16.1), который называется методом Гаусса. Он заключается в том, чтобы преобразовать эту систему к равносильной системе с базисом, для которой вопрос о решениях рассмотрен в предыдущем разделе 16.

Метод Гаусса сводится к последовательному исключению неизвестных и основан на применении элементарных преобразований, которые приводят к равносильной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1. обмен местами уравнений в системе;

2. умножение уравнения на постоянное число, отличное от нуля;

3. прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного предварительно на произвольное число;

4. отбрасывание или добавление уравнения вида (такое уравнение назовем лишним уравнением).

Уравнение вида , где , назовем противоречивым уравнением. Если в результате элементарных преобразований получилось противоречивое уравнение, то система несовместна.

Для простоты записи вместо всей системы уравнений будем записывать только расширенную матрицу коэффициентов, отделяя вертикальной чертой столбец правых частей

. (17.1)

Элементарные преобразования для равносильных систем порождают допустимые преобразования для матриц. Таким образом, в матрице можно:

1) менять местами строки;

2) умножать любую строку на число, отличное от нуля;

3) прибавлять к строке любую другую строку, умноженную на любое число;

4) отбрасывать нулевую строку , то есть строку коэффициентов лишнего уравнения.

Универсальный метод Гаусса имеет несколько вычислительных схем. Рассмотрим здесь схему единственного деления. Ее идея заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести матрицу (17.1) к виду

(17.2)

или получить противоречивую строку , где , то есть убедиться в том, что система несовместна. Если противоречий не получено, то система совместная и можно искать ее решения. Таким образом, метод состоит из двух этапов.

I-ый этап – так называемый «прямой ход». Его цель – преобразовать матрицу к такому виду, когда на главной диагонали стоят 1, а под главной диагональю – 0. Для этого последовательно выполняем следующие шаги.

1-ый шаг. Назовем элемент в левом верхнем углу матрицы ведущим, а строку, содержащую ведущий элемент, ведущей строкой. Преобразуем матрицу так, чтобы ведущий элемент равнялся 1. Если в левом столбце есть 1, то меняем местами строки. Если нет, то меняем строки так, чтобы ведущий элемент был отличен от нуля, и делим ведущую строку на ведущий элемент. Получаем матрицу

2-ой шаг – размножение нулей в левом столбце под ведущим элементом, равным 1. Для этого к каждой i–той строке прибавляем ведущую строку, предварительно умноженную на первый элемент i–той строки, взятый с противоположным знаком. Например, умножаем первую строку на ( ) и складываем со второй строкой.

Если в ходе этих преобразований получили нулевую строку, то ее следует отбросить. Если получена противоречивая строка, то система решений не имеет. Если противоречий нет, то в результате получим матрицу, в которой, возможно, будет меньше строк, чем в исходной. Она имеет вид:

3-ий шаг – мысленно отделим строку и столбец, содержащие ведущий элемент. В них «прямой ход» завершен. В оставшейся внутри пунктирных линий матрице снова выделим ведущий элемент и повторим всю процедуру, начиная с 1-го шага.

Если новый ведущий элемент и все элементы под ним – нули, то можно поменять местами столбцы всей матрицы так, чтобы новый ведущий элемент был равен 1 или, по крайней мере, был отличен от нуля. Это всегда можно сделать (иначе ведущая строка либо лишняя, либо противоречивая). Однако это приводит к замене переменных, которую следует обязательно пометить в схеме.

Получаем матрицу

, (17.3)

если m<n, или при m=n

. (17.4)

2-ой этап – «обратный ход». На этом этапе размножают нули над главной диагональю матриц (17.3) или(17.4), продвигаясь вдоль нее в обратном направлении: вверх и влево. При этом получается матрица вида (16.4). Решение системы с такой матрицей рассмотрено в разделе 16.

Несложным оказывается решение систем и с матрицей вида (17.3) или (17.4), которые получаются в результате «прямого хода». Решаем такую систему, начиная с последнего уравнения и подставляя найденные неизвестные в предыдущие уравнения.

Пример 17.1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

«Прямой ход»:

«Обратный ход»: полученную расширенную матрицу запишем в виде системы уравнений

Будем решать эту систему, начиная с последнего уравнения. Значение из последнего уравнения системы подставим во второе уравнение: . Получим . Теперь найденные значения переменных подставим в первое уравнение для нахождения . Тогда

Ответ:

Обратный ход можно также записать в матричной форме. Для этого размножают нули над 1, начиная с нижнего правого угла и перемещаясь вдоль главной диагонали вверх.

Вид полученной матрицы позволяет сделать вывод о том, что заданная в этом примере система совместна и определенна.

Приведем теперь пример несовместной системы.

Пример 17.2: Решить систему

Решение: Выпишем расширенную матрицу этой системы. В левом верхнем ее углу стоит 1. Для размножения нулей под 1 умножим первую строку на -2 и прибавим ко второй строке. Затем умножим первую строку на -3 и прибавим к третьей строке.

Р азмножив нули в первом столбце, мысленно отбросим первую строку и первый столбец и продолжим прямой ход в матрице, расположенной внутри пунктирной линии. В результате всех преобразований получена противоречивая строка

,

а следовательно система несовместна и решения не имеет.

Ответ: нет решения.

Следует отметить, что с помощью схемы Гаусса можно решать одновременно нескольких систем с одинаковыми левыми частями и различными правыми. Приведем такой пример.

Пример 17.3: Решить две системы

Решение. «Прямой ход»:

«Обратный ход»:

Ответ: