12. Обратная матрица и ее вычисление с помощью союзной матрицы.
Определение 12.1. Пусть A- квадратная неособенная матрица.
Матрица называется обратной матрице A, если ее произведение на матрицу A и справа и слева равно единичной матрице E.
Обратную матрицу
будем обозначать
.
Таким образом
-
обратная для A,
если
.
Пусть A
- неособенная
матрица, т.е.
Составим вспомогательную матрицу H, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы A:
.
Транспонируем матрицу H и получим матрицу C вида
.
Матрица C называется союзной матрицей.
Покажем,
что
.
Доказательство:
По определению .
Рассмотрим элемент
(по теореме разложения и теореме аннулирования)
=
.
Покажем , что
матрица
-
единственна. От противного: пусть
существует матрица
такая, что
.
Умножим это равенство слева на
.
Получено противоречие, а значит матрица - единственна. Таким образом, доказана теорема 12.1.
Для любой
невырожденной матрицы A
существует единственная обратная
,
где С -
союзная матрица.
Пример 12.1. Найти обратную матрицу для
.
Найдем определитель матрицы A:
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A:
Составим союзную матрицу C:
,
тогда
.
13. Cистемы линейных уравнений.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными
(13.1)
Здесь
-
коэффициенты системы при неизвестных
- свободные члены или правые части
системы.
Матрица , состоящая из коэффициентов системы, носит название матрицы системы. Если к матрице добавим столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу
Матрицу - столбец
свободных членов обозначим через В.
Тогда
.
Если
,
то система называется однородной.
Решением
системы называется такая совокупность
значений
,
при подстановке которой в систему (13.1)
все уравнения системы обращаются в
тождество.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решения системы не существует. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений несколько.
Две системы с одним и тем же набором неизвестных называются равносильными в двух случаях: 1) каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот; 2) обе системы несовместны. Равносильные системы должны иметь одинаковый набор неизвестных, но число уравнений может не совпадать.
14. Матричная запись системы уравнений.
Обозначим через X матрицу-столбец неизвестных
.
Тогда
AX=B (14.1)
- матричная запись
системы линейных уравнений (13.1). Если m
= n, т.е. число
уравнений равно числу неизвестных, то
матрица А
– квадратная. Для систем с квадратной
неособенной матрицей можно искать
решение в матричном виде. Умножим обе
части матричного равенства (14.1) на
слева:
,
и
так как
и
,
то получим решение системы в виде
Пример 14.1: Используя найденную в примере 12.1 обратную матрицу, решить систему уравнений
Так как
,
а столбец свободных членов
,
то
Ответ:
