18. Нахождение решения в базисной форме.

Схема Гаусса позволяет на первом этапе определить, является ли система совместной. И если система совместна (нет противоречивых строк), то по виду матрицы в конце «прямого хода» можно судить о том, является ли она определенной (квадратная матрица) или неопределенной (число строк меньше, чем число столбцов).

Пример 18.1 Методом Гаусса решить систему и представить ее решение в базисной форме:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и выполним первый этап схемы Гаусса – «прямой ход».

Прямой ход завершен. Число строк меньше, чем число столбцов, а значит система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

«Обратный ход». Выпишем теперь эквивалентную систему с новой матрицей.

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть равенств. Получим

Подставляя значение x из последнего уравнения в предыдущее, получаем

Следовательно, решением системы является совокупность

где -- свободная переменная, а ­­- базисные переменные.

Пример 18.2. Методом Гаусса решить однородную систему и представить ее решение в базисной форме:

Решение: Для однородной системы столбец свободных членов нулевой, поэтому выписывают не расширенную, а обычную матрицу системы.

«Прямой ход»:

.

«Обратный ход»:

где - свободная переменная, - базисные переменные.

Сделаем здесь проверку, то есть подставим найденное решение в исходную систему. Тогда имеем:

§19. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса.

Пусть - неособенная квадратная матрица. Тогда для нее существует обратная матрица . Обозначим через столбец номер обратной матрицы . По определению

Отсюда, для нахождения -того столбца обратной матрицы необходимо решить систему

(19.1)

Для нахождения всей матрицы необходимо решить n систем вида (19.1) с одинаковыми левыми частями и различными правыми, состоящими из нулей и одной 1 в -ой строке.

Таким образом, расширенная матрица имеет вид:

Пример 19.1. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице . Используя найденную обратную матрицу, решить систему

Решение. Составим расширенную матрицу и выполним «прямой ход».

Обратная матрица находится в правой части расширенной матрицы за вертикальной чертой. Таким образом,

. Решим теперь заданную систему в матричном виде:

.

Ответ:

§20. Понятие об -мерном арифметическом пространстве и -мерном векторе.

Пусть задано произвольных чисел .

Определение 20.1. Упорядоченную совокупность чисел назовем -мерным вектором и обозначим . Числа назовем координатами вектора.

Введем алгебру -мерных векторов. Пусть даны два вектора и . Тогда

1. Два вектора равны, если равны соответствующие координаты, то есть

2. ноль вектором называется вектор ;

3. суммой векторов назовем вектор

; (20.1)

4. произведением скаляра (числа) на вектор назовем вектор

. (20.2)

Определение 20.2. Множество -мерных векторов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, называются -мерным арифметическим пространством.

Пусть - -мерные векторы, а - скаляры. С помощью правил (20.1) и (20.2) составим новый -мерный вектор

. Вектор называется линейной комбинацией векторов

Пример 20.1. Найти линейную комбинацию.

Пример 20.2. Найти линейную комбинацию заданных векторов

Рассмотрим векторов вида

(20.3)

Тогда любой вектор -мерного пространства является их линейной комбинацией. Действительно, легко убедиться, что Система векторов (20.3) называется естественным базисом.

При арифметическое пространство имеет геометрическую интерпретацию. Вектор – направленный отрезок прямой.