15. Системы с неособенной квадратной матрицей. Формулы Крамера.

Пусть система имеет неособенную матрицу, то есть . Систему уравнений (13.1) можно записать таким образом

(15.1)

Умножим обе части (15.1) на алгебраическое дополнение столбца номер j и просуммируем:

(15.2)

Тогда левая часть (15.2) равна

Правая часть равенства (15.2) на основании теоремы замещения равна тому определителю, который получается из исходного путем замены j-го столбца на столбец свободных членов. Обозначим его через . Тогда

, (15.3)

откуда получаем, что

(15.4)

Так как формулы (15.3) дают единственную совокупность решения, то решение системы (15.1) с квадратной невырожденной матрицей единственно. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема Крамера: если определитель системы с квадратной матрицей не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находим по формулам (15.4) для всех j = 1,2,…,n.

Пример 15.1: По формулам Крамера решить систему уравнений

Решение: определитель матрицы системы (найден в примере 12.1).

Тогда

Ответ:

Из доказательства теоремы Крамера вытекает важное следствие для однородных систем с квадратной матрицей. Пусть в системе (15.1) все правые части равны 0. Тогда все определители , так как имеют нулевой столбец. Тогда из формулы (15.3) следует, что для всех . И если хотя бы одно значение в совокупности отлично от 0 (то есть система имеет ненулевое решение), то это может быть только тогда, когда определитель системы . Заметим, что однородная система всегда имеет очевидное нулевое решение. О наличии других решений ответ дает следующая теорема.

Теорема: Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя.

Формулы Крамера для нахождения решений применимы только для систем с квадратной матрицей и при больших значениях n приводят к трудоемкому процессу вычисления определителей высокого порядка.

16. Системы уравнений в базисной форме.

Рассмотрим произвольную систему

(16.1)

когда .

Для нахождения общего метода исследования и решения такой системы введем в рассмотрение ее частный случай. Система вида

(16.2)

называется системой в базисной форме.

Неизвестные называются свободными, а - несвободными или базисными неизвестными. Выбор базисных и свободных переменных может быть различным в общем случае.

Система (16.1) имеет решение в том и только том случае, когда ее можно записать в базисной форме.

Перенесем все свободные неизвестные в правые части уравнений системы (16.2). Тогда получим

(16.3)

Если свободным неизвестным придать конкретные числовые значения, то по формулам (16.3) можно вычислить базисные неизвестные. Таким образом, базисная система (16.2) всегда имеет решение. Причем возможны следующие варианты.

1). m=n , то есть число уравнений равно числу неизвестных. В этом случае все переменные базисные. Система имеет вид

и является определенной, так как имеет единственное, очевидное решение. Матрицей такой системы является единичная матрица

.

2). m<n. Тогда система с расширенной матрицей вида

(16.4)

имеет бесконечно много решений, так как при каждом числовом наборе свободных неизвестных базисные неизвестные получают определенные значения по формулам (16.3).

Совокупность n значений неизвестных , связанных соотношениями (16.3), где неизвестные могут принимать любые числовые значения, называется общим решением системы (16.2) или решением в базисной форме. Частным решением называется всякое решение, полученное из общего при конкретных числовых значениях свободных неизвестных.

Вывод: система с базисом всегда совместна. При этом она определенная, если все ее неизвестные базисные, и неопределенная, если кроме базисных есть хотя бы одна свободная неизвестная.