1.3. Работа расширения идеального газа в разных процессах

Изобарический процесс – это процесс, происходящий при постоянном давлении p = const. Температура в состояниях с P₁V₁ и P₂V₂ определяется уравнением состояния и будет соответственно T₁ = P₁V₁/R и T₂ = P₂V₂/R. При этом процессе с увеличением объема к системе необходимо подводить теплоту для того, чтобы обеспечить постоянство давления. В общем виде работа данного процесса определяется интегралом

(1.18)

Изохорический процесс – это процесс, осуществляемый при постоянном объеме V = const. Работа в этом процессе равна нулю:

(1.19)

Изотермический процесс – это процесс, осуществляемый при постоянной температуре T = const. Работа в этом процессе определяется по формуле

(1.20)

Здесь использовано уравнение состояния идеального газа. В этом процессе внутренняя энергия идеального газа не меняется. Поэтому из первого начала термодинамики следует, что Q = W. Это означает, что в изотермическом процессе все количество теплоты, подводимое извне, идет на совершение работы.

Адиабатический процесс – это процесс, в котором отсутствует теплообмен с окружающей средой, т.е. Q = 0. Поэтому первый закон термодинамики следует записать в виде

C_VdT + PdV = 0.

Известно, что P = RT/V. Тогда

C_VdT + (1.21)

Между параметрами P, V, T при протекании адиабатического процесса в идеальном газе имеют место соотношения

PV^ = const TV ^–1 = const,

где  = C_p / C_V.

Пример 1.13.

Рассчитать изменение внутренней энергии гелия (одноатомный идеальный газ) при изобарном расширении от 5 до 10 л под давлением 196 кПа.

Решение.

Изменение внутренней энергии идеального газа определяется только начальной и конечной температурой (C_V = =  nR – идеальный одноатомный газ). Выразим начальную конечную температуры через давление и объем газа:

Рассчитаем изменение внутренней энергии

Пример 1.14.

Чему равна работа при изотермическом (Т = 308 К) расширении от Р₁ = 4,0665∙10⁵ Па до Р₂ = 1,0133∙10⁵ Па смеси, состоящей из 48 кг кислорода и 2 кмоль азота?

Решение.

Пример 1.15.

1 моль водяных паров обратимо и изотермически сконденсировали в жидкость при 100 C. Рассчитать работу, теплоту, изменение внутренней энергии и энтальпии в этом процессе. Удельная теплота испарения воды при 100 C равна 2260 Дж/г.

Решение.

В процессе H₂O_(г)  H₂O_(ж) произошло обратимое сжатие газа при постоянном давлении P = 1 атм от объема V₁= nRT/P = 0,082373 = 30,6 л до объема одного моля жидкой воды V₂ = 0,018 л. Работа сжатия при постоянном давлении

W = P(V₂ – V₁)  –PV₁ = –101,3 кПа 30,6 л = –3100 Дж.

При испарении одного моля воды затрачивается теплота 2260 Дж/г18 г = 40700 Дж, поэтому при конденсации одного моля воды эта теплота, напротив, выделяется в окружающую среду:

Q = –40700 Дж.

Изменение внутренней энергии рассчитываем по первому закону:

U = Q – W = –40700 – (–3100) = –37600 Дж,

а изменение энтальпии – через изменение внутренней энергии:

H =U + pV = U + W = Q = –40700 Дж.

Изменение энтальпии равно теплоте, так как процесс происходит при постоянном давлении.

Пример 1.16.

Определить работу испарения 3 моль метанола при нормальной температуре кипения.

Решение.

Нормальная температура кипения (Т_н.т.к) – это температура кипения при внешнем давлении, равном 1,0133∙10⁵ Па. Нормальную температуру кипения находим в справочнике: Т_н.т.к =337,9 К. Работу определим по уравнению (1.18), так как испарение происходит при постоянном давлении. Конечный объем приближенно можно определить по закону идеального газообразного состояния V₂ = nR Т_н.т.к /P.

В первом приближении объемом жидкости V₁ можно пренебречь, так как объем жидкости при температурах, далеких от критической, значительно меньше объема пара. Тогда

W = P nR Т_н.т.к / P = nR Т_н.т.к = 3∙8,3143∙337,9 = 8,428∙10³ Дж.

Для более точного решения при температуре Т_н.т.к находим плотности жидкой фазы и пара: ρ_ж = 0,7510∙10³ , ρ_п = = 0,001222∙10³ кг/м³ .

По плотностям находим объемы 3 моль вещества в жидком и газообразном состояниях:

Поскольку плотность выражена в кг/м³ , молекулярная масса (в г/моль) будет равна М∙10^–3 . Тогда

W = 1,0133∙10⁵(78,560 – 0,128)∙10^–3 = 7,9475∙10³ Дж = = 7,9475 кДж.

Пример 1.17.

Определить работу адиабатического обратимого расширения 3 моль аргона от 0,05 до 0,50 м³. Начальная температура газа 298 К.

Решение.

Для определения работы адиабатического расширения воспользуемся уравнением

.

Величину γ определим из С_Р и С_V. Аргон – одноатомный газ, следовательно, его изохорная теплоемкость на основании молекулярно-кинетической теории идеальных газов С_V = R = = 1,5∙8,314 = 12,471 Дж/(моль·К):

С_Р = С_V + R = 12,471 + 8,314 = 20,785 Дж/(моль·К),

γ = 20,785/12,471 = 1,667.

Отсюда

Пример 1.18.

Двуокись углерода в количестве 100 г находится при 0 °С и давлении 1,013∙10⁵ Па. Определить Q, W, и

1) при изотермическом расширении до объема 0,2 м³;

2) при изобарном расширении до того же объема;

3) при изохорном нагревании до достижения давления 2,026∙10⁵ Па;

4) при адиабатном сжатии до 2,026∙10⁵ Па.

Принять, что СО₂ подчиняется законам идеальных газов, а истинная мольная теплоемкость СО₂ при постоянном давлении постоянна и равна 37,1 Дж/(моль·град).

(Молекулы СО₂ линейны. Поэтому без учета энергии колебательного движения атомов в молекуле С_Р = = 3,5∙8,314 = = 29,1 Дж/(моль·°С). Значение 37,1 Дж/(моль·°С) получается потому, что у двуокиси углерода уже при комнатной температуре достаточно велика энергия колебательного движения.)

Решение.

1. Для изотермического расширения и

Q = W = RT ln

Число молей СО₂ в 100 г составляет:

= = = 2,27 моль.

Первоначальный объем определяют по уравнению

V₁ = = = 0,0509 м³.

Количество теплоты

Q = W = 2,27∙8,314∙273 ln = 7070 Дж = 7,07 кДж.

2. Для изобарного процесса

Q_Р = = С_Р (T₂ – T₁) = (V₂ – V₁).

Отсюда

Q_Р =  = (0,200 – 0,0509) = 67400 Дж = = 67,4 кДж.

Работа расширения газа в изобарном процессе

W = Р(V₂ – V₁) = 1,013∙10⁵ (0,200 – 0,0509) = = 15000 Дж = 15,0 кДж.

Из уравнения (1.16)

= Q – W = 67,4 – 15,0 = 52,4 кДж.

3. Для изохорного процесса

W = 0 и Q_V = = C_V(T₂ – T₁) = (P₂ – P₁).

Теплоемкость при постоянном объеме

С_V = C_p–R = 37,1 – 8,314 = 28,8 Дж/(моль∙град).

Отсюда

Q_V = = (2,026∙10⁵ – 1,013∙10⁵) = = 17900 Дж = 17,9 кДж.

Для изохорного процесса

Отсюда

17,9 + 0,0509(2,026 – 1,013)∙10⁵ ∙10^-3 = 23,1 кДж.

4. Для адиабатного сжатия

Q = 0, W = – = = .

Коэффициент

= = = 1,29,

W = – –2970 Дж = = –2,97 кДж.

Выражая конечный объем V_2, из уравнения адиабаты P₁V₁ = = P₂V₂, получим