6.4. Логарифмически-нормальное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина име­ет логарифмически-нормальное (сокращенно логнормальное распре­деление), если ее логарифм подчинен нормальному закону.

Так как при неравенства и равносильны, то функция распределения логнормального распределения сов­падает с функцией нормального распределения для случайной величины , т.е.

Дифференцируя обе части равенства по , получим выражение плотности вероятности для логнормального распределения

.

Можно доказать, что числовые характеристики случайной величины , распределенной по логнормальному закону, имеют вид: математическое ожидание , дисперсия , мода , медиана , асимметрия .

Очевидно, чем меньше , тем ближе друг к другу значения моды, медианы и математического ожи­дания, а кривая распреде­ления – ближе к симмет­рии. Если в нормальном законе параметр высту­пает в качестве среднего значения случай­ной величины, то в логнормальном – в качестве медианы.

Логнормальное распределение используется для описания распределения доходов банковских вкладов, месячной заработ­ной платы, посевных площадей под разные культуры, долговеч­ности изделий в режиме износа и старения и др.

6.5. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин

Ниже рассматривается несколько основных законов, состав­ляющих необходимый аппарат для построения в дальнейшем статистических критериев и оценок, применяемых в математи­ческой статистике.

6.5.1. -распределение (распределение Пирсона)

Определение. Распределением (хи-квадрат) с степенями свободы называется распределение суммы квадратов независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.

где имеет нормальное распределение .

Число степеней свободы – это разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, ограничивающих свободу изменения этих величин. Так как случайные величины независимы, то число линейных связей равно нулю и тогда число степеней свободы будет равно .

Плотность вероятности -распределения имеет вид:

где   – гамма-функция Эйлера.

Можно доказать, что , а .

При распределение случайной величины близко к стандартному нормальному закону, т.е. .

6.5.2. Распределение Стьюдента или -распределение (т)

Определение. Распределением Стьюдента (или -распределением) называется распределение случайной величины

где – случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е. ;

– независимая от случайная величина, имеющая – распределение с степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

где  – гамма-функция в точке .

При -распределение приближается к нормальному. Практически уже при можно считать -распределение приближенно нормальным.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей t-рас­пределение, в силу симметрии ее кривой распределения равно нулю, а ее дисперсия равна , т.е.

6.5.3. Распределение Фишера-Снедекора или f-распределение

Определение. Пусть даны две независимые случайные величины и , имеющие распределение соответственно с и степенями свободы, тогда случайная величина

имеет F-распределение или распределение Фишера с и степенями свободы.

Плотность вероятности -распределения имеет вид:

где – гамма-функция Эйлера в точке y.

При F-распределение приближается к нормальному закону.