7.3. Теорема Чебышева

Теорема. Если дисперсии независимых случайных величин , ,…, ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий , ,…, , т.е.

или .

Вначале докажем формулу, затем выясним смысл формулировки «сходимость по вероятности».

По условию , ,…, , , ,…, , где  – постоянное число.

Получим неравенство Чебышева для средней арифметической случайной величины, т.е. для

.

Найдем математическое ожидание и оценку дисперсии :

Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии и, в частности, то, что случайные величины , ,…, независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий.

Запишем неравенство для случайной величины

.

Так как по доказанному  , то и от неравенства теоремы перейдем к более сильному неравенству:

.

Т.к. при величина стремится к нулю, то получим доказываемую формулу.

Стремление к следует понимать не как категорическое утверждение, а как утверждение, верность которого гарантируется с вероятностью, сколь угодной близкой к 1 при . Это обстоятельство и отражено в формулировке теоремы «сходится по вероятности» и в записи обозначением .

Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе случайных величин , ,…, практически достоверно, что их средняя  – величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины , т.е. практически перестает быть случайной.

Следствие. Если независимые случайные величины , ,…, имеют одинаковые математические ожидания, равные , а их дисперсии ограничены одной и то же постоянной, то неравенство из доказательства примет вид:

,

тогда

.

Учтено, что

Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту убытков страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число на средние убытки при наступлении страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса. Без учета действия закона больших чисел (теоремы Чебышева) возможны существенные убытки страховой компании (при занижении размера страхового взноса), либо потеря привлекательности страховых услуг (при завышении размера взноса).

Другой пример. Если надо измерить некоторую величину, истинное значение которой равно , проводят независимых измерений этой величины. Пусть результат каждого измерения – случайная величина . Если при измерениях отсутствуют систематические погрешности (искажающие результат измерения в одну и ту же сторону), то естественно предположить, что при любом . Тогда на основании следствия из теоремы Чебышева средняя арифметическая результатов измерений сходится по вероятности к истинному значению . Этим обосновывается выбор средней арифметической в качестве меры истинного значения .

Если все измерения проводятся с одинаковой точностью, характеризуемой дисперсией , то дисперсия их средней будет равна

,

а ее среднее квадратическое отклонение – . Полученное отношение, известное под названием «правила корня из », говорит о том, что средний ожидаемый разброс средней в раз меньше разброса каждого измерения. Таким образом, увеличивая число измерений, можно как угодно уменьшать влияние случайных погрешностей (но не систематических), т.е. увеличивать точность определения истинного значения .