7.5. Центральная предельная теорема

Рассмотренный выше закон больших чисел устанавливает факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно к нормальному закону распределения.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если  – независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный центральный момент третьего порядка и

,

то закон распределения суммы при в соответствии со свойствами нормального закона означает, что

,

где  – функция Лапласа.

Смысл условия состоит том, чтобы в сумме не было слагаемых, влияние которых на рассеяние подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом, удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Следствие. Если  – независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания , дисперсии и абсолютные центральные моменты третьего порядка , то по закону распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному закону.

Доказательство сводится к проверке условия

.

:

В частности, если все случайные величины одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону .

Теперь у нас имеется возможность доказать ещё раз локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.

Рассмотрим случайную величину , где  – число появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с одной и той же вероятностью p, т.е.  – случайная величина, имеющая биномиальный закон распределения, для которого математическое ожидание и дисперсия .

Случайная величина так же, как случайная величина , вообще говоря, дискретна, но при большом числе испытаний ее значения расположены на оси абсцисс так тесно, что ее можно рассматривать как непрерывную с плотностью вероятности .

Найдем числовые характеристики случайной величины , используя свойства математического ожидания и дисперсии:

.

.

В силу того, что случайная величина представляет собой сумму независимых альтернативных случайных величин, случайная величина представляет также сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин и, следовательно, на основании центральной предельной теоремы при большом числе имеет распределение, близкое к нормированному нормальному закону с параметрами , .

Используя свойство нормального закона, получим для нормированной случайной величины .

Действительно, неравенство равносильно . Полагая , и с учетом того, что , получим .

Вероятность того, что событие произойдет раз в независимых испытаниях, можно приближенно записать в виде:

.

Чем меньше , тем точнее приближенное равенство. Минимальное (целое) . Поэтому можно записать: , где , .

При малых имеем , где  – плотность стандартной нормально распределенной случайной величины с параметрами , , т.е.

.

Полагая  , получим локальную формулу Муавра–Лапласа:

.

Замечание. Необходимо соблюдать осторожность, применяя центральную предельную теорему в статистических исследованиях. Скорость сходимости к нормальному закону существенно зависит от типа распределения слагаемых. Так, например, при суммировании равномерно распределенных случайных величин уже при 6–10 слагаемых можно добиться достаточной близости к нормальному закону, в то время как для достижения той же близости при суммировании -распределенных случайных слагаемых понадобится более 100 слагаемых.