Тема 7. Закон больших чисел и предельные теоремы

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд теорем, в каждом из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Прежде чем перейти к этим теоремам, рассмотрим неравенства Маркова и Чебышева.

7.1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева)

Теорема. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа верно неравенство

.

Доказательство. Доказательство проведем для дискретной случайной величины . Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений – , ,…, будут не более числа , а другая часть – ,…, – больше , т.е. .

Запишем выражение для математического ожидания :

,

где  – вероятности того, что случайная величина примет значения соответственно .

Отбрасываем первые неотрицательных слагаемых (напомним, что все ), получим .

Заменяя в этом неравенстве значения меньшим числом , получим более сильное неравенство или .

Сумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой сумму вероятностей событий , т.е. вероятность события . Поэтому

.

Так как события и противоположные, то заменяя в этом неравенстве выражением , придем к другой форме неравенства Маркова:

.

Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.

7.2. Неравенство Чебышева

Теорема. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: , где , .

Применим неравенство Маркова к случайной величине , взяв в качестве положительного числа . Получим .

Так как неравенство равносильно неравенству , а есть дисперсия случайной величины , то получаем доказываемое неравенство.

Учитывая, что события и противоположны, неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

.

Неравенство Чебышева в обеих формах применимо для любых случайных величин. Оно устанавливает верхнюю и нижнюю границы вероятности рассматриваемого события.

Запишем неравенство Чебышева для некоторых случайных величин:

а) для случайной величины , имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией : ;

б) для частоты события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , имеющей дисперсию :

.

Замечание. Если математическое ожидание или дисперсия случайной величины , то правые части неравенств Маркова и Чебышева будут отрицательными, а в другой форме будут больше 1. Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1. Но такой вывод очевиден и без использования данных неравенств. Естественно, это обстоятельство снижает значения неравенств Маркова и Чебышева при решении практических задач, однако не умаляет их теоретического значения.