§ 3. Квадратичные формы.

Билинейная форма, её задание с помощью матрицы.

Рассмотрим подробнее скалярное произведение типа , А - матрица некоторого линейного оператора. Произведение квадратной матрицы на столбец это вектор-столбец, затем его скалярно умножаем на вектор , в итоге получится число. Таким образом, это некоторая скалярная функция от 2 векторов. Она линейна по каждому аргументу: если на 1 или 2 месте сумма векторов, то результат тоже представляется в виде суммы. Обозначим и назовём эту функцию билинейной формой.

Подробнее при n=2 :

= = .

При произвольном n: здесь n² слагаемых.

Фактически, это обобщённое скалярное произведение. Обычное скалярное произведение можно задать таким же способом, но с единичной матрицей Е: = . Это частный случай билинейной формы.

Теперь рассмотрим такой случай. Пусть билинейная форма вычисляется от 2 одинаковых векторов, . Обозначим и назовём эту функцию, отобрающую один вектор в число, квадратичной формой.

Квадратичная форма задаётся через скалярное произведение так: .

= .

Например, матрица задаёт такую квадратичную форму:

= = .

Очевидно, , то есть эта группа из двух слагаемых и может быть объединена. Коэффициенты и распределить поровну. Так, это то же самое, что . Но ведь тогда матрицу квадратичной формы можно сделать симметричной, перераспределить эквивалентные элементы с сохранением их суммы. Таким образом, квадратичную форму всегда можно задать симметричной матрицей. Эта же самая квадратичная форма может быть задана и такой матрицей: .

Пример. Построить матрицу квадратичной формы

.

Решение. Распределим поровну коэффициенты:

. Каждый коэффициент, стоящий при , запишем на место .

Ответ: матрица: .

* Очевидно, если матрица диагональна, то = квадратичная форма не содержит попарных произведений, а содержит только квадраты координат.

* Вспомним теорему 7 из прошлого §. Если матрица симметрична, то собственные векторы ортогональны.

* Вспомним также теорему 5 из прошлого §. Если в качестве нового базиса взять n собственных векторов, то матрица оператора в новом базисе будет диагональной.

Из всего сказанного следует, что квадратичную форму всегда можно привести к виду, не содержащему попарные произведения, а содержащему лишь квадраты, называется к «главным осям» (главные оси это направления, соответствующие собственным векторам).

Приведение к главным осям основано на поиске собственных чисел и векторов, примеры на эту тему решим подробно на практике.

Глава 4. Аналитическая геометрия.

§1. Прямая на плоскости.

Известное из школы уравнение прямой: . Однако такое уравнение не позволяет задавать вертикальные прямые. Существует общий вид уравнения прямой: .

Кстати, уравнение относится к типу явных уравнений , а уравнение неявное - типа

Пункт 1. Вывод уравнения прямой по точке и перпендикуляру.

Допустим, дана точка с координатами и перпендикуляр (синоним: «нормаль») к прямой, вектор .

Если произвольную точку с координатами взять вне этой прямой, то и не перпендикулярны, а если принадлежит прямой, то перпендикулярны, тогда их скалярное произведение = 0.

см. чертёж. = (из координат конца вектора вычли координаты его начала).

Тогда , , обозначим через С, и получим .

Таким образом, мы также доказали, что координаты нормали являются коэффициентами при x,y в уравнении прямой.

Замечание. Здесь может возникать вопрос: А если вектор нормали длиннее или короче, чем исходный, это тоже нормаль, не получится ли другое уравнение прямой? На самом деле, если вектор нормали умножить на , то все коэффициенты уравнения, включая константу, будут больше в раз, но тогда можно вынести число и сократить на него всё уравнение, а справа 0 ведь при этом так и останется 0. То есть, получим уравнение той же самой прямой, и от длины нормали на самом деле ничего не зависит.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) перпендикулярно вектору (3,4).

Решение. = , , они перпендикулярны. Тогда , то есть .

Замечание. Здесь можно явно выразить и привести к форме .

Если в этой задаче была бы нормаль (3,0), т.е. горизонтальный вектор, то получили вертикальную прямую: , т.е. , т.е. - вертикальная прямая, где y в уравнении нет, то есть оно любое.

Итак, точка и перпендикуляр однозначно определяют прямую на плоскости.

Пункт 2. Вывод уравнения прямой по точке и направляющему вектору.

Пусть задана точка с координатами и направляющий вектор с координатами . Поставим произвольную точку на прямой. В данном пункте не ортогонален, а коллинеарен вектору , то есть координаты векторов и пропорциональны.

Запишем пропорцию: Это называется «каноническое уравнение прямой». Конечно, можно свести к общему виду, умножив крайние и средние члены пропорции:

, сводится к .

Заметим, что здесь . То есть, можно было бы и сразу от направляющего перейти к нормали, для этого поменять местами координаты вектора, и у одной координаты сменть знак. А потом действовать как в прошлом пункте.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) параллельно вектору (3,4).

Решение. , , .

Замечание. Построение уравнения прямой по двум точкам сводится к этому же методу, так как вектор, проведённый между этими точками, как раз и есть направляющий к прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (3,4) и (5,7).

Решение. Направляющий вектор здесь (5-3, 7-4) = (2,3).

, , .

Пункт 3. Расстояние от точки до прямой.

Пусть дана прямая и точка . Кратчайшее расстояние, то есть длину перпендикуляра, проведённого от точки к прямой, обозначим d. Нам не известно, где основание перпендикуляра, более того, его и не нужно искать. Возьмём произвольную точку на прямой. Это можно сделать так: присвоим x=0 и вычислим y, либо наоборот, y=0 и вычислить x. Короче, найти какую-нибудь точку на прямой можно элементарно. Далее, соединим и . Вектор не перпендикулярен прямой, однако его проекция на нормаль это и есть d.

Применим формулу проекции вектора на ось. . В нашем случае это . Но расстояние всегда положительно, независимо от того, с какой стороны от прямой эта точка. Поэтому в числителе должен быть ещё и модуль, а не само скалярное произведение.

, если расписать это подробнее, то т.е. .

Замечание. Если точка принадлежит прямой, то в числителе 0, и тогда d = 0, что и должно получиться, ведь точка лежит на прямой.

Пример. Найти расстояние от точки M₁(1,4) до прямой .

Решение. Нормаль . Тогда = = .

Пункт 4. Взаимное расположение прямых в плоскости в зависимости от коэффициентов.

Пусть даны две прямых.

Если решить систему из этих 2 уравнений, то мы и получим точку пересечения. Решение единственно при , когда ранг основной матрицы системы, а именно матрицы , равен 2.

Т.е. если пропорция нарушается в коэффициентах при x,y то есть тогда пересекаются в одной точке.

Если , то возможны ещё 2 случая:

1) прямые совпадают (система уравнений неопределённая, так как полностью пропорциональны все элементы двух уравнений, а значит, фактически в системе уравнение одно, а не два).

2) прямые параллельны (систему уравнений получается несовместная).

Если прямые пересекаются в 2 точках, то они совпадают. Это тот случай, когда ранг основной матрицы системы равен 1. Там будет одна свободная переменная, и бесконечное множество решений.