§3. Прямая в пространстве.

Для прямой на плоскости и для плоскости в пространстве есть однозначно определённое направление нормали (перпендикуляра) т.к. там размерности рассматриваемых многообразий 1 и 2 (2 и 3 соответственно), то есть «не хватает» одной размерности. А для прямой в пространстве не хватает 2 размерностей (1 и 3). Это совершенно новый случай, здесь нельзя однозначно задать перпендикуляр. Есть целая плоскость, перпендикулярная прямой, то есть бесконечное число нормалей. А вот направляющий вектор однозначно определён (с точность до его длины, конечно). Это проявится в том, что мы получим другой тип уравнений.

п.1. Построение уравнения прямой по точке и направляющему вектору.

Пусть дана точка с координатами и направляющий вектор (выделен жирно на чертеже) Представим себе, что какая-то произвольная точка с координатами лежит на этой же прямой. Тогда и коллинеарны, то есть их координаты - пропорциональны, т.е.

тогда . Это канонические уравнения прямой в пространстве.

Фактически здесь не одно а два уравнения, впрочем, это понятно: ведь прямая может быть задана как пересечение 2 плоскостей. Кстати, если перемножить 1-ю и 2-ю пропорции независимо друг от друга, и свести к обычным уравнениям, то мы и получили бы уравнения каких-то 2 плоскостей.

Если эти 3 дроби равны, то можно приравнять их к некоторому параметру t.

. Если теперь выразим x,y,z через t из каждой дроби по отдельности, получим:

- параметрические уравнения. Это физические уравнения движения, в момент времени t=0 находимся в точке , в момент времени t=1 сдвинулись к концу направляющего вектора.

Векторный вид записи этих 3 равенств: . При t=0 радиус-вектор из начала координат к исходной точке, через 1 секунду он будет направлен в конец вектора .

Пример. Точка (1,1,1) направляющий вектор (1,2,3).

, тогда - канонические уравнения.

Параметрические:

Если привести 2 пропорции и то получим

и , то есть и

это и есть уравнения двух плоскостей, в пересечении который лежит эта прямая.

Замечание. Если требуется построить уравнение прямой по 2 точкам, то направляющий вектор от 1-й ко 2-й точке, и далее известный алгортим.

п.2. Построение уравнения прямой по точке и 2 перпендикулярам.

Если дана точка и 2 нормали, то можно найти направляющий как векторное произведение этих 2 нормалей:

. Далее можно решать тем методом, как в прошлом пункте.

Пример. Если 2 перпендикуляра (1,0,0)  и (1,1,0) то их векторное произведение (0,0,1) - направляющий.

Параметрические уравнения: x = 0 , y = 0 , z = t.

п.3. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Почему требуется выводить новую формулу? В пространстве уравнение прямой это вовсе не , а канонические или параметрические уравнения, то есть формула из прошлой темы не применима.

Дана прямая (с помощью точки и направляющего ) и точка , не лежащая на прямой.

Соединим и , это одна из двух сторон параллелограмма, вторая это . Требуемое расстояние это высота, надо площадь поделить на длину основания. Площадь равна векторному произведению векторов, образующих стороны. Поэтому .

п.4. Взаимное расположение прямых.

Скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые - две прямые, не лежащие в одной плоскости.

Через совпадающие, пареллельные, пересекающиеся прямые можно провести общую плоскость. Скрещивающиеся прямые можно представить себе как пару прямых, лежащих в параллельных плоскостях, но при этом сами прямые не параллельны (если рассмотреть вид сверху, то они пересекались бы).

Если	и при этом:	тогда прямые:
		Совпадающие
		Параллельные
	и компланарны (в одной плоскости)	Пересекающиеся
		Скрещивающиеся

п.5. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Спроецируем на ту плоскость, где лежит 2 прямая, и на плоскость, где 1-я. Получается два параллелограмма. Соединим их вершины, получаем параллелепипед.

Обратите внимание, что отрезок может не являться кратчайшим, так как точки не ровно одна над другой, т.е. углы параллелипепеда могут быть и не 90⁰.

Кратчайшее расстояние = высоте переллелепипеда, то есть d = V / S.

Объём вычислим с помощью смешанного произведения, а площадь основания через векторное от . Итак, .

п.6. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть дана плоскость

и дана прямая: с помощью точки и направляющего .

Угол это угол между прямой и нормалью к плоскости.

, тогда , .