§2. Плоскость в пространстве

Вообще, эта ситуация похожа на прямую в плоскости, ведь там тоже не хватает 1 размерности, здесь 2-мерное множество в 3-мерном пространстве, то есть тоже отличие из размерностей на 1. Нормаль тоже однозначно определяет плоскость в пространстве.

Явное уравнение плоскости: . Но таким путём невозможно задать никакую вертикальную плоскость, то есть явное уравнение применимо не ко всем ситуациям.

Общее, или неявное уравнение плоскости: .

Пункт 1. Вывод уравнения плоскости по точке и перпендикуляру.

Пусть дана точка с координатами и перпендикуляр . Сейчас мы докажем, что именно эти координаты А,В,С окажутся коэффициентами в уравнении плоскости. Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую плоскости. Тогда вектор перпендикулярен нормали, то есть вектору .

Тогда их скалярное произведение, то есть пары векторов и равно 0.

. Раскроем скобки:

Обозначим константу . Тогда получается . Чертёж:

Обратите внимание, что координаты нормали оказались именно коэффициентами при x,y,z.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,1,1) перпендикулярно вектору (1,2,3).

Решение. Вектор ортогонален вектору (1,2,3).

Тогда следовательно,

.

Замечание. Длина нормали не влияет на уравнение. Если бы изначально было дано, что нормаль (2,4,6) то получили бы:

, но это уравнение задаёт ту же самую плоскость. Достаточно вынести 2 за скобку, и сократить на 2, получили бы то же самое уравнение. .

Пункт 2. Вывод уравнения плоскости по точке и двум направляющим.

Пусть даны точка и 2 направляющих вектора ими однозначно порождается некоторый параллелограмм, а следовательно и плоскость. Одного направляющего вектора недостаточно, ведь тогда плоскость может вращаться вокруг него, то есть плоскость не будет однозначно фиксирована.

Обозначим координаты направляющих, например, так: и .

Первый способ. Можно найти нормаль к плоскости как векторное произведение 2 направляющих векторов и далее искать уравнение плоскости по точке и нормали, методом, рассмотренным в пункте 1. Но это будет решение в 2 шага.

Однако можно также получить уравнение плоскости сразу, без вычисления векторного произведения:

Второй способ. Возьмём произвольную точку . Если она принадлежит плоскости, то вектор (показан красным цветом) будет лежать в плоскости, то есть тройка векторов , образует линейно-зависимую систему (ЛЗС), то есть эти векторы не образуют параллелепипед, а лежат в одной плоскости.

Тогда смешанное произведение 0, то есть определитель, составленный из них, равен 0:

Вычисляя этот определитель, мы получим в качестве результата некоторое уравнение, содержащее x,y,z. А если начальная точка (0,0,0), то уравнение будет вычисляться с помощью такого определителя: .

Пример. Построить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно 2 направляющим (1,2,3) и (1,1,1).

Решение. . Можем разложить по первой строке: = .

Для удобства, чтобы 1-й коэффициент был положителен, можно домножить на . Ответ: .

Замечание. Векторы можно поменять местами, и это не влияет на уравнение плоскости. Неважно, какой из них считается первым, а какой вторым. Если все миноры сменят знак, то из уравнения просто можно будет вынести коэффициент .

Замечание. Построение уравнения плоскости по трём точкам. Если дано 3 точки, достаточно взять 2 направляющих и (пусть это и будут те самые ) и затем действовать так, как сказано ранее.

на будущее:

Лекция № 7. 14. 10. 2016

Пункт 3. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дано уравнение плоскости и произвольная точка .

Возможно, она лежит в плоскости (тогда расстояние по формуле автоматически получится 0). Но в общем случае она не принадлежит плоскости. Мы не знаем, где основание перпендикуляра, более того, его и не потребуется искать.

Возьмём произвольную точку в плоскости. Сделать это просто: присвоим какие-нибудь значения 2 переменным из трёх, и вычислим третью. Например, как правило, задать x,y и вычислить z.

Итак, выбрали какую-то точку в плоскости. Отрезок между и не перпендикулярен плоскости, но его проекция на нормаль - это как раз и есть кратчайшее расстояние до плоскости (d).

= .

Если подставить в уравнение плоскости (в числителе) точку, лежащую в плоскости, то получим 0. Поэтому и получится d=0. В общем же случае, результат подстановки некоторой точки, не лежащей в плоскости, в уравнение плоскости, характеризует удаление от плоскости.

Пункт 4. Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны 2 плоскости.

Если рассматривать это как систему уравнений, то видим, что 2 уравнения и 3 переменных, то есть по меньшей мере одна свободная переменная. Это означает, что если решения есть, то их бесконечно много. Это и есть все точки, принадлежащие прямой, являющейся пересечением плоскостей.

Чтобы найти пересечение, достаточно решить систему уравнений, где 2 уравнения - это и есть уравнения этих плоскостей.

Если то плоскости совпадают, так как уравнения полностью пропорциональны.

Если то плоскости параллельны. Дело в том, что если из одного уравнения вычесть кратное второму, то получим все 0 коэффициенты при x, y, z, и останется противоречивое уравнение (некая ненулевая константа = 0).

Если пропорциональность нарушена среди каких-то из первых 3 дробей, то плоскости пересекаются по прямой.

Пункт 5. Угол между плоскостями и метод его нахождения.

Можно искать как угол между нормалями (показаны красным). Их координаты известны - это и . В то же время известно, что . Тогда = . .