§ 3. Системы линейных однородных уравнений.
Если в каждом уравнении правая часть , такая система называется однородной.
Расширенная матрица содержит столбец, состоящий только из 0, то есть ранг расширенной матриц точно не больше, чем ранг основной! По теореме Кронекера-Капелли получается, что однородная система всегда совместна, то есть существует хотя бы одно решение.
Заметим, что при подстановке всех 0
вместо неизвестных,
,
все равенства автоматически выполняются,
т.е. нулевое решение для такой системы
всегда существует. Оно называется
тривиальным решением.
Тривиальное решние может быть не единственным, возможно, есть ещё какие-то наборы чисел, которые можно подставить в систему. Основной задачей для однородных систем как раз и является поиск ненулевых решений.
Нетривиальные решения есть, например:
решения (1,1), (2,2), и т.д. Любое (С,С) для
есть решение.
Здесь ранг равен 1, и 2-я перменная свободная.
А здесь ранг основной матрицы равен 2.
,
базисный минор фактически заполняет
всю основную матрицу, до правого края,
в этом случае нет свободных переменных.
Решение только тривиальное.
Если решать методом Гаусса, то получим
тогда
,
и отсюда
.
После приведения к треугольному виду, последняя неизвестная получится 0, за ней и предпоследняя и т.д.
Теорема 1. Однородная система с квадратной основной матрицей имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда основная матрица вырожденная.
* А если матрица невырожденная, то решение единственно, но поскольку обязательно существует тривиальное, то оно и есть тривиальное (все нули), других решений нет.
Теорема 2. Линейная комбинация решений однородной системы тоже есть решение.
Доказательство. Дано
,
,
тогда
.
* Для неоднородных систем такой факт был не верен! Там есть лишь более сложный аналог - теорема о наложении решений. Но идея доказательства похожая: если в той теореме и - нулевые векторы, получим эту теорему.
Теорема 3. Сумма решений неоднородной и соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы.
Доказательство. Пусть решение неоднородной системы, - решение соответствующей однородной системы (с той же основной матрицей, но 0 в правой части).
,
,
тогда
.
Следствие. Разность двух различных частных решений неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы.
Геометрический смысл. Если взять разность двух радиус-векторов, проведённых к точке какой-либо прямой, не проходящей через начало координат, получится вектор, лежащий на параллельной прямой, проходящей через начало координат.
Теорема 4. Пусть дана однородная
система с
неизвестными, ранг основной матрицы
равен
.
Тогда существует
линейно-независимых решений однородной
системы, и всякое другое решение есть
их линейная комбинация.
Определение. Данная система, состоящая из линейно-независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений.
Пример. (r=2, n=4).
базисный минор порядка 2, можно обвести
в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная
- свободные. Перенесём их через знак
равенства.
.
уже выражено:
,
подставим это в первое уравнение, чтобы
выразить и
.
,
.
Общее решение: { , }.
Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.
,
получим
,
получим
.
Эти 2 вектора {
,
}
и есть ФСР. Это
частных решений, из которых можно
составить любые другие частные решения.
Любые их линейные комбинации будут
частными решениями однородной системы.
В этом примере
,
.
* Для системы с квадратной матрицей
справа были только числа, для системы
с прямоугольной матрицей к ним добавляются
свободные переменные, и там будут
выражения типа
.
А для однородной системы справа констант
нет (они = 0), но туда перенесены свободные
переменные. То есть идея решения методом
Гаусса во всех этих 3 параграфах одна и
та же, но справа разные типы объектов.
Лекция № 5. 30. 09. 2016