§ 2. Неоднородные системы с произвольной матрицей.

В общем случае, основная матрица системы не квадратная, а прямоугольная. При этом базисный минор порядка , где . Возможно, что ранг даже и строго меньше, .

Сначала нужно упростить расширенную матрицу системы методом Гаусса и обвести базисный минор.

Если (ранг меньше числа неизвестных) то в процессе преобразований методом Гаусса получатся строк, состоящих из нулей. Уравнения, соответствующие им, в системе уравнений не несут никакой информации: . Такие уравнения просто вычёркиваются.

Но также возможно, что - ранг меньше числа неизвестных (то есть базисный минор не заполняет всю матрицу до правого края). Столбцы, не являющиеся базисными, переносят вправо. В системе это означает, что переменных нужно перенести вправо в каждом уравнении (они называются свободными переменными), а базисных переменных оставить слева.

Фактически, при этих действиях мы стремимся к тому, чтобы слева получить именно квадратную матрицу (порядка ), причём она уже будет приведена к треугольному виду, и можно будет выражать неизвестные поочерёдно. Но в отличие от определённых систем, справа в это время не просто константы, а блоки, состоящие из констант и свободных неизвестных.

Таким образом, первые переменных в ответе будут не конкретными числами, а функциями от последних переменных. Совокупность таких выражений называется ОБЩИМ РЕШЕНИЕМ.

Если присвоить какие-либо значения свободным переменным и вычислить базисных, то получим тогда уже конкретный набор из n чисел, это называется ЧАСТНЫМ РЕШЕНИЕМ. Частных решений может быть бесконечно много, потому что присваивать свободным неизвестным можно любые действительные значения.

Общее и частное решение.

Пример.

Решить систему уравнений .

Запишем расширенную матрицу и преобразуем её методом Гаусса:

.

Из 2-й строки отняли 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю. Замечаем, что 2 и 3 строка одинаковы, вычитаем из 3-й 2-ю, и 3-я строка получилась состоящей из 0. Это уравнение 0 = 0 , очевидно, его можно вычеркнуть.

Базисный минор 2 порядка можно найти в левом верхнем углу.

Здесь m = 3, n = 4, r = 2.

Обратите внимание. Типичной и характерной ошибкой является то, что вычёркивают обе пропорциональных строки, а не одну. Но если провести алгоритм Гаусса до конца, то видно, что одна из них сотаётся и несёт содержательную информацию, а её копия лишняя, она и обратилась в 0. Не нужно торопиться и вычёркивать все пропорциональные строки, ведь хотя бы одна из них не лишняя!

Развернём две оставшихся строки снова в систему уравнений:

Здесь перенесём вправо, именно 3-я переменная - свободная, так как баисный минор обвели в левом углу.

* Впрочем, это не единственный вариант: базисный минор можно составить из фрагментов 1 и 3 столбца, тогда была бы свободная. Итак, перенесём :

Основная матрица системы фактически стала квадратной, 2 порядка, т.е. множество коэффициентов при базисных переменных образует такую квадратную матрицу: .

Просто справа при этом не только константы, а составные выражения из констант и каких-то параметров.

Видно, что уже и так выражена, . Подставим это выражение в 1 уравнение, чтобы выразить отдельно через .

, в итоге . Как видно, свободные переменные где-то могут и сократиться полностью, то есть какие-то базисные переменные выражаются просто через константу. Но в других примерах могут и все базисные зависеть от свободных переменных.

Итак, - это общее решение. В нём есть один свободный параметр .

Его можно записать также и в виде такого вектора: .

Если задавать любое , будет получать тройки чисел, которые служат частными решениями.

Например, при = 0 получим (1,2,0). А при = 1 получим (1,1,1).

При = 2 получим (1,0,2), также можно задавать дробные значения , например, частным решением является также и . Частных решений бесконечно много.

* Свободных неизвестных . Как правило, это последние, но не факт: зависит от строения системы. Если, например, 2-й столбец кратен 1-у, то базисный минор не удастся выбрать в левом верхнем углу, а только с разрывом через второй столбец, тогда 2-й столбец не будет базисным, и - свободная пременная.

Теорема (о наложении решений).

Если даны 2 системы уравнений с одной и той же основной матрицей, отличающиеся лишь правой частью, - решение системы с правой частью , а вектор - решение соответствующей системы с правой частью , тогда является решением третьей системы, где правая часть .

Доказательство. Дано , , тогда .

Пример. и - две системы с одной той же основной матрицей. Решение первой (1,1), для второй (1,2).

Если образуем третью новую систему, в которой в правой части поставим сумму,

сумма тех двух решений будет для неё решением: (2,3).