3.1. Линейное программирование
Этот метод наиболее прост для использования, но при этом значительно расширяет возможности руководителя для принятия решений.
Для постановки задачи задается система уравнений: одно целевое (минимум или максимум) и ряд ограничений.
Например – требуется максимизировать прибыль, при ограничениях на рабочее время станков (табл. 3.1).
Предположим, что число деталей: А, В, С равно x1,x2,x3 соответственно. Тогда ограничения задачи будут выглядеть так:
2x1+4x2+5x3 ≤ 120
x1+8x2+6x3 ≤ 280
7x1+4x2+5x3 ≤ 240
При этом число деталей не может быть отрицательным:
x1,x2, x3 ≥ 0
Таблица 3.1
Линейное программирование
Тип оборудования |
Затраты времени (станкочасов) на обработку одного изделия каждого вида |
Общий фонд рабочего времени оборудования (часы) |
||
|
A |
DВ |
CC |
|
Фрезерное |
2 |
4 |
5 |
120 |
Токарное |
1 |
8 |
6 |
280 |
Сварочное |
7 |
4 |
5 |
240 |
Прибыль (руб.) |
10 |
14 |
12 |
|
Целевая функция (максимизировать прибыль):
10x1+14x2+12x3>max
Имеем систему уравнений:
2
x1+4x2+5x3
≤ 120
x1+8x2+6x3 ≤ 280
7x1+4x2+5x3 ≤ 240
x1,x2, x3 ≥ 0
10x1+14x2+12x3>max
Часто подобные задачи можно решить графически.
Реальные задачи редко бывают такими простыми, поэтому среди минусов метода можно отметить сильную аппроксимацию результатов. Типичными задачами этого метода являются задачи составления жидких смесей, распределения ресурсов и т.д.
3.2. Нелинейное программирование
Нелинейное программирование применяется, когда зависимости между величинами нельзя выразить линейно. Примером может служить тот случай, когда на предприятии в течение ряда лет прирост выпуска продукции отстает от роста затрат труда, тогда как темпы роста количества отходов его обгоняют. Также примером является фирма, которая должна оплатить счет за электроэнергию в случае, когда расчеты ведутся по нелинейной формуле, учитывающей как среднесуточный расход, так и «пиковую» потребность в энергии. В данном случае фирма получает сведения о нелинейном характере затрат из договора о ставках оплаты, заключенного с компанией, обеспечивающей энергоснабжение.
Нелинейность «встраивается» в модели программирования и в других случаях, например:
1. Приготовление бензиновых смесей. В модели приготовления бензина определенного состава из отдельных фракций, полученных в результате перегонки нефти, обычно имеется нелинейное ограничение на октановое число смеси, поскольку эта характеристика качества нелинейно зависит от количества, добавляемого к смеси тетраэтилового свинца.
2.Управление производственным процессом. В модели металлургического завода значение переменной, характеризующей температуру в доменной печи, может быть описано функцией от других переменных, соответствующих количеству потребного тепла и временным показателям процесса. В свою очередь каждая из этих переменных входит в другие ограничения, а также в целевую функцию.
3. Выручка от реализации продукции. Спрос на продукцию компании может существенно зависеть от цен реализации: чем ниже цена продукта, тем больше объем реализации, несмотря на аналогичное снижение цен, производимое конкурентами. Следовательно, выручка от реализации продукции не изменяется пропорционально цене, и это обстоятельство должно быть отражено в целевой функции многопродуктовой модели с помощью нелинейного слагаемого.
Для иллюстрации примем, что х(р) есть объем реализации, зависящий от цены р; тогда выручка от реализации равна рх(р). Пусть на представляющем для нас интерес интервале изменения р функция объема реализации от цены линейна, т. е. имеет вид
х (р) = ap + b.
Тогда слагаемые в целевой функции, относящиеся к выручке от реализации, являются квадратичными относительно управляющей переменной р и имеют вид:
(ар2 + bр).
Пока не существует универсального метода решения задач нелинейного программирования. Задачи легко описываются системой уравнений, но методы решений крайне громоздки, фактически почти всегда для решения используется ЭВМ.