1.2. Свойства математических моделей

При изучении реального существующего или мыслимого технического объекта (ТО) математические методы применяют к его математической модели (ММ). Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств.

Полнота ММ позволяет отразить именно те характеристики объекта, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента (не отражает габаритные, массовые или стоимостные показатели). Так ММ резистора в виде формулы U=IR закона Ома обладает свойством полноты лишь между U, I, R.

Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров (ТО).

Адекватность ММ - это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения δ. Под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание характеристик ТО.

Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенности применяемой ЭВМ и других факторов.

Робастность ММ (от английского слова robust - крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью.

Продуктивность ММ связана с возможностью располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл.

Наглядность ММ является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее, использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.

1.3. Схема построения математической модели

В ходе математического моделирования металлургических процессов наиболее сложной и трудоемкой является задача составления математического описания, удачное решение которой определяет дальнейшую разработку.

Рецептов по составлению математических моделей для всех случаев дать нельзя, но из самой сущности метода математического моделирования вытекает, что математическое описание моделируемого объекта необходимо проводить по частям, исходя из того, что реальный процесс представляет собой сочетание элементарных процессов.

Практически составление математической модели происходит по этапам. При этом наиболее часто применяют блочный принцип, согласно которому каждый блок содержит более или менее самостоятельный этап моделирования.

Построение математической модели обычно начинают с этапов формализованного описания тех элементарных процессов, которые являются наиболее существенными для данного объекта.