1. Математическая модель
Математика давно стала общепризнанным инструментом исследования явлений и процессов реального мира. Помимо традиционных областей использования математики в сферу ее приложений вовлекаются все новые и новые дисциплины. В литературе, посвященной экономике, социологии, технике, экологии и т.д. прочно заняло место выражение «математическая модель». Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее, в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются, по сути, упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой. По видимому, к этому сводится смысл замечания Карла Маркса о том, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. [1]
Этапы развития многих естественно - научных направлений в познании законов природы и совершенствовании техники – это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и явлений. Однако история науки знает не только случаи последовательного уточнения той или иной ММ, но и случаи отказа от некоторых ММ вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью.
Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением. Она позволяет провести детальное исследование изучаемого объекта и дать надежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность модели нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при её использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающих количественный анализ.
Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения физических величин можно выразить одинаковыми формулами.
При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона
, (1.1)
где
-
дифференциальный оператор Лапласа,
- искомая и заданная
функции положения точки М
V
в некоторой области V,
можно изучать
установившиеся процессы течения жидкости
и распространения теплоты, распределения
электрического потенциала, деформацию
мембраны, механические напряжения при
кручении бруса, фильтрацию нефти в
нефтеносном слое или влаги в почве,
распространение какой-либо примеси в
воздухе. В каждой из перечисленных задач
функции
и
приобретают
свой смысл, но их связь описывает общее
для этих задач уравнение (1.1).
Эти примеры характеризуют свойство универсальности ММ. Благодаря этому свойству возникает «родство» между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие.
Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, и называют математической моделью1 этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки.