5.5. Преобразование выражений

Рассмотрим не слишком сложное выражение, содержащее сумму двух слагаемых (x³+2)(3–x)+(x²+3)(x²–2), каждое из которых представляет собой произведение двух еще более простых выражений в скобках. Желая далее упростить вид исходного выражения, запишем таковое по правилам, изложенным в разделе 5.3 с нажатием одновременно двух клавиш Shift+Enter, получим.

Теперь откроем меню программы Упростить и выберем Simplify Expession (упростить выражение). Maxima применит к записанному выражению функцию ratsimp() и запишет

Заметим, что в Maxima имеется также функция rat(), которая в данном случае сработает точно также:

однако возможности функции rat() значительно уже. Так, например, в следующем случае

функция rat() не смогла получить в ответе ноль, так как и для нее величины различные. Но функция ratsimp() с задачей успешно справляется

за счет того, что делает подсказку для функции rat(), которую она использует в своей работе: replaced 0.5 by 1/2 = 0.5 – замени неточное число 0.5 на точное 1/2.

Выражение (%о11) можно снова преобразовать, записав его в виде произведения трёх простых сомножителей, если его выделить мышкой (провести по нему мышкой при нажатой левой кнопке) и затем в меню программы Упростить выбрать Factor Expression (факторизовать выражение).

В приведенных примерах, функция ratsimp() упрощает выражение за счет того, что раскрывает скобки и приводит подобные слагаемые. Функция factor() представляет результат весьма компактно в виде произведения простых выражений.

Имя функции ratsimp(), которая производила упрощение происходит от слов RATional (рациональный) и SIMPlify (упростить). Функция factor() носит своё название от FACTOR (англ. – показатель) в связи с тем, что показатель n в записи числа означает, что такой результат был получен в результате произведения n одинаковых сомножителей вида a.

Если в качестве аргумента функции factor() ввести целое число, то в качестве результата вычисления функция вернет разложение аргумента на простые множители; если же в качестве аргумента ввести рациональное число, то на множители будут разложены как его числитель, так и знаменатель. В следующем примере в одну строку были записаны (через точку с запятой) два задания. В первом задании функция factor() должна была найти простые множители целого девятизначного числа, во втором задании простые множители нужно было найти для числителя и знаменателя рациональной дроби. Ответы Maxima поместила в строки (%o18) и (%o19).

Из ответов можно заключить, что первое число можно представить в виде 123456789 = 3²*3607*3803, числитель – в виде 987654321 = 3²*17²*379421, а знаменатель – в виде 10!–1 = 29*125131.

5.6. Исследование функций и построение графиков

Пусть мы выбрали программу Maxima в списке программ, загрузили её и, желая нарисовать двумерный график, щёлкнули по строке меню Графики Plot2d... В появившемся окне диалога Двумерный график в первой строке Выражение(ния) запишем сразу 4 функции: x, abs(x), x², x³, перечислив их через запятую (мы желаем нарисовать сразу четыре графика).

Рис. 25. Степенные графики в Maxima

Чтобы график выглядел покрупнее, изменим граничные значения переменных х и у на относительно небольшие, указав «От: –1.5 До: 1.5» в разделе Опции выберем: set size ratio 1; set zeroaxis; чтобы масштаб по оси абсцисс совпадал с масштабом по оси ординат (совершенно необходимо для графика у = х), сами допишем с клавиатуры опцию set grid; чтобы график имел сетку, и щелкнем ОК (или нажмём Enter).

Рис. 26. Графики степенных функций y = x, y = abs(x), y = x2, y = x3

Формат рассмотренных графиков «Встроенный», они располагаются в рабочем окне Maxima, но если изменить формат на gnuplot или openmath, то графики Maxima нарисует в отдельном окне, и мы можем масштабировать график (изменять размеры за счет изменения размеров окна) или распахнуть окно с графиками на весь экран.

Тригонометрические функции

Синусоиду sin(x) полезно сравнить с аналогичными ей синусоидами sin(2x) и 2sin(x) (рис. 27). Для этих графиков математически правильнее использовать именно разный масштаб, так как в данном случае по оси абсцисс отложены какие-то углы, а по оси ординат — синусы этих углов.

Рис. 27. Синусоиды sin(x), sin(2x) и 2sin(x)

Параметрические графики

Наряду с обычными графиками в прямоугольной декартовой системе координат Maxima строит так называемые параметрические графики. Примерами таких графиков являются: окружность (x=cos(t), y=sin(t)) и фигура Лиссажу (x=cos(t), y=sin(2*t)), нарисованные далее на одном рис. 28.

Рис. 28. Параметрические графики

Параметр t представляет собой угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором текущей точки графика.

Поиск экстремума функции

В следующем примере мы сначала конкретизировали вид функции W (команда %i1), затем попросили Maxima решить уравнение, указав в качестве аргумента функции solve выражение вида diff(W, x), которое представляет собой первую производную функции W по переменной x.

В качестве решения (%о2) уравнения W '(x) = 0 функция solve вывела список из двух значений [ x = –2, x = 0 ]. Команды (%i3) использованы для того, чтобы вычислить экстремальные значения функции в критических точках: конструкция %[1] отсылает на первый элемент списка последнего ответа, %o2[2] – на второй элемент списка ответа %о2.

Для понимания общего поведения функции и визуализации её экстремумов, конечно же, необходимо построить её график (см. рис. 28).

Рис. 28. Экстремумы функции (1+x–x^2)/(1+x+x^2)