1.2.2 Пример кинематического анализа рычажного механизма

Исходные данные:

Кинематическая схема механизма, построенная в масштабе ( ) в заданном положении (рисунок 1.15а). Размеры звеньев: ,

Угловая скорость звена 1 1/с ( )

Последовательность построения (рисунок 1.16б):

1. Абсолютная скорость точки А₁ на конце ведущего звена 1

.

так как переносного (поступательного) движения первого звена нет, то

2. Масштабный коэффициент примем равным

Длина вектора скорости

Из произвольно выбранной точки P_v (полюса плана скоростей) (рисунок 1.15б) строим вектор скорости перпендикулярно О₁А₁ в направлении угловой скорости ω₁. Так как точка О₁ на плане скоростей совпадает с полюсом P_v.

Скорость точки А₂, принадлежащей звену 2, равна Скорость точки О₂

3. Скорость средней точки первой группы Ассура – точки А₃ определяем через скорости крайних точек этой группы А₂ и О₂. Причем точка А₃ принадлежит звену 3 и в данный момент совпадает с точками А₁ и А₂.

Скорость точки А₃ относительно точки А₂

Вектор в этом уравнении выступает как вектор скорости в переносном движении. Величина и направление его известны. Вектор представляет собой относительную скорость звена 3 относительно звена 2 (скорость скольжения) – параллельно звену О₂А₃. Величина этой скорости неизвестна. Поэтому из конца вектора на плане скоростей проводим линию действия скорости параллельно звену О₂А₃.

Скорость точки А₃ относительно точки О₂

,

где - вектор скорости звена 3 в переносном (поступательном) движении вместе с точкой О₂. Так как , то точка О₂ совпадает с полюсом плана скоростей P_V.

- вектор скорости относительного (вращательного) движения точки А₃ относительно точки О₂ перпендикулярно звену О₂А₃.

Величина неизвестна, так как неизвестна угловая скорость звена 3 - . Поэтому из полюса P_V (из точки О₂) проводим линию действия скорости перпендикулярно О₂А₃. Точка пересечения двух линий действий и определяет на плане скоростей положение точки А₃.

Отрезок представляет собой вектор скорости точки А₃, . Соответственно находим вектор .

По свойству подобия находим на плане скоростей точку В, которая принадлежит звену 3 и звену 4, то есть является крайней точкой второй группы Ассура.

Точки А₃, О₂ и В, принадлежащие звену 3, образуют фигуру треугольника с направлением обхода вершин против часовой стрелки и углом 90⁰ при вершине О₂. На плане скоростей строим треугольную фигуру а₃P_Vв, подобную фигуре А₃О₂В плана положений звена, но повернутую относительно ее на 90⁰.

Для этого перпендикулярно отрезку проводим отрезок , длина которого определяется из соотношения

,

откуда

= , мм.

Отрезок представляет собой вектор скорости точки В, то есть = 42,75 мм. Скорость другой крайней точки второй группы Ассура – О₃ (неподвижной направляющей звена 5) V_O3 = 0 и находится в полюсе P_V.

Скорость средней точки второй группы Ассура – С определяем через скорости крайних точек этой группы В и С_О (совпадающей с точкой С_4,5). Скорость точки С относительно точки В

,

где - вектор скорости переносного (поступательного) движения звена ВС, величина и направление его известны.

- вектор относительной скорости точки С при вращении его вокруг точки В. Линия действия перпендикулярна звену СВ.

Рисунок 1.15

Величина не известна, так как не известна угловая скорость звена 4. Поэтому из конца вектора на плане скоростей проводим линию действия скорости перпендикулярно звену СВ.

Скорость точки С относительно неподвижной точки С_О

,

где - вектор скорости точки С_О (совпадающей с точкой С_4,5) на неподвижной направляющей в переносном движении. Так как V_Co = 0, то точка С_О совпадает с полюсом плана скоростей P_V.

- вектор скорости в относительном (поступательном) движении звена 5 относительно направляющей О₃О₃, параллелен направляющей.

По величине V_CСo не известна. Поэтому из полюса P_V проводим линию действия скорости параллельно О₃О₃. Точка пересечения двух линий действия и определяет на плане скоростей положение точки С. Отрезок представляет собой вектор скорости точки С, то есть и .

По свойству подобия находим положения центров тяжести весомых звеньев на плане скоростей. Центр тяжести звена 4 лежит на прямой ВС на плане положений механизма, поэтому соответствующая ей точка на плане скоростей лежит на прямой, проходящей через точки в и с. При этом длина отрезка вS₄ (мм) на плане скорости определяется соотношением

,

откуда

= 25·30/90=8,3 мм.

Вектор скорости точки S₄ определяется отрезком P_VS₄, то есть

, мм.

Истинные (абсолютные) значения скоростей точек механизма

Абсолютные величины угловых скоростей звеньев

= , 1|c;

= , 1|c,

где = 40 · 0,01 = 0,4 м.

Для определения направления угловой скорости звена 3 вектор , то есть вектор относительной скорости точки А₃ при вращении ее относительно точки О₂, переносим с плана скоростей на звено 3 в точку А₃ и рассматриваем вращение этого звена вокруг точки О₂ (по часовой стрелке). Аналогично, перенося вектор скорости с плана скорости в точку С звена 4 на план механизма, рассматриваем вращение звена 4 вокруг точки В (против часовой стрелки).

Построение плана ускорений.

Исходные данные:

- кинематическая схема механизма (рисунок 1.15а);

- угловая скорость звена 1 - , 1/с;

- план скорости для заданного положения (рисунок 1.15б).

Последовательность построения (рисунок 1.15в).

Абсолютное ускорение точки А₁

.

Так как переносного (поступательного) движения звена 1 нет, то а_О1 = 0 и так как угловая скорость , то угловое ускорение звена 1 и тангенциальное .

Поэтому

.

Масштабный коэффициент плана ускорений

.

Из произвольно выбранной точки Р_а (полюса плана ускорений) (рисунок 1.16в) строим вектор ускорения = 60 мм параллельно А₁О₁ в направлении от А₁ к О₁. Так как а_О1 = 0 точка О₁ на плане ускорений совпадает с полюсом Р_а.

Ускорение средней точки первой группы Ассура (точка А₃) определяем через ускорения крайних точек этой группы А₂ и О₂.

Точка А₃ принадлежит звену 3 и в данный момент совпадает с точками А₁ и А₂.

Ускорение точки А₃ относительно точки А₂

.

Вектор в этом уравнении является вектором ускорения в переносном движении. Величина и направление его известны.

- ускорение Кориолиса, возникающее в результате того, что переносное движение звена 3 является не поступательным, а вращательным вместе со звеном 2.

- релятивное ускорение в относительном движении точки А₃ по отношению к точке А₂ (ускорение скольжения). Линия действия параллельна звену А₃О₂.

Величина ускорения Кориолиса определяется по модулю формулой

, м/с²,

где - угловая скорость переносного движения, 1/с;

V_A3A2 – скорость точки А₃ относительно точки А₂, м/с.

Длина вектора, изображающего ускорение Кориолиса на плане ускорений, равна

, мм.

Для определения направления ускорения Кориолиса надо вектор относительной скорости повернуть на 90⁰ по направлению угловой скорости переносного движения (рисунок 1.16в). Поэтому из конца вектора на плане ускорений строим вектор ускорения Кориолиса найденной длины в найденном направлении. Из конца вектора проводим линию действия релятивного ускорения параллельно звену А₃О₂.

Ускорение точки А₃ относительно точки О₂

,

где - ускорение точки О₂ в переносном движении звена 3, , т.к. точка О₂ неподвижна;

- нормальное ускорение точки А₃ в относительном ее вращении вокруг точки О₂. Направлено параллельно А₃О₂ от точки А₃ к точке О₂.

Величина нормального ускорения определяется по модулю следующим образом

, м/с².

Длина вектора, изображающего нормальное ускорение на плане ускорения, равна

, мм,

где - тангенциальное ускорение точки А₃ в относительном вращении вокруг точки О₂. Линия действия – перпендикулярна звену А₃О₂. Величина тангенциального ускорения по модулю не известна, так как не известно угловое ускорение звена 3

.

Потому из полюса плана ускорений (из точки О₂) строим вектор нормального ускорения найденной длины в найденном направлении. Из конца вектора проводим линию действия тангенциального ускорения перпендикулярно А₃О₂.

Точка пересечения двух линий действия и определяется на плане ускорений положение точки А₃.

Отрезок представляет собой вектор ускорения точки А₃, то есть , мм. Соответственно находим из плана ускорений вектора и мм.

По свойству подобия находим на плане ускорений точку В, которая принадлежит звену 3 и звену 4, то есть является крайней точкой второй группы Ассура. Для этого на плане ускорений строим треугольную фигуру а₃Р_ав, подобную фигуре А₃О₂В плана положения звена 3 (направление обхода против часовой стрелки), то есть перпендикулярно отрезку а₃Р_а проводим отрезок Р_ав, длина которого определяется из соотношения

,

откуда

.

Отрезок Р_ав представляет собой вектор ускорения точки В, т.е.

= 27,75 мм.

Ускорение другой крайней точки второй группы Ассура О₃ (неподвижной направляющей звена 5) а_О3 = 0 и находится в полюсе Р_а.

Ускорение средней точки второй группы Ассура С определяем через ускорения крайних точек этой группы В и С_о (совпадающей с точкой С_4,5).

Ускорение точки С относительно точки В

,

где - вектор ускорения точки В в переносном движении. Величина и направление его известны, мм;

- вектор нормального ускорения точки С в относительном ее вращении вокруг точки В. Направлено параллельно ВС от точки С к точке В.

Величина нормального ускорения по модулю

, м/с².

Длина вектора, изображающего нормальное ускорение на плане ускорений, равна

мм,

где - тангенциальное ускорение точки С в относительном ее вращении вокруг точки В. Линия действия - перпендикулярно СВ.

Величина тангенциального ускорения по модулю не известна, так как не известно угловое ускорение звена 4

.

Поэтому из конца вектора ускорения строим вектор нормального ускорения , найденной длины в найденном направлении. Из конца вектора проводим линию действия тангенциального ускорения перпендикулярно СВ.

Ускорение точки С относительно точки С_о

,

где - вектор ускорения точки С_о на неподвижной направляющей и совпадающей с точкой С в переносном движении (так как а_Со = 0, то точка С_о находится в полюсе Р_а);

- кориолисово ускорение точки С относительно точки С_о на неподвижной направляющей О₃О₃ равно нулю, так как ;

- релятивное ускорение точки С в поступательном движении относительно точки С_о.

Таким образом, абсолютное ускорение . Величина ускорения не известна. Линия действия - параллельно С_оО₃. Поэтому из полюса Р_а проводим линию действия ускорения параллельно С_оО₃. Точка пересечения двух линий действия и определяет на плане положение точки С. Отрезок представляет собой вектор ускорения точки С, то есть . Соответственно на плане ускорений находим длину вектора .

По свойству подобия находим положение центров тяжести весомых звеньев на плане ускорений. Центр тяжести звена 4 лежит на звене ВС на плане положения механизма. Поэтому соответствующая ей точка на плане ускорений лежит на прямой, проходящей через точки в и с. При этом длина отрезка на плане ускорений определяется из соотношения

,

откуда

мм,

где и - отрезки на плане ускорений, мм;

и – отрезки на плане механизма, мм

Вектор ускорения точки S₄ определяется отрезком P_aS₄, то есть мм.

Пользуясь планом ускорения, определяем истинные (абсолютные) значения ускорений точек механизма

Абсолютные величины угловых ускорений звеньев

Для определения направления углового ускорения звена 3 (рисунок 1.13) вектор тангенциального ускорения переносим с плана ускорений на звено 3 в точку а₃ и рассматриваем вращение этого звена вокруг точки О₂ (по часовой стрелке).

Аналогично, перенося вектор ускорения с плана ускорений на план механизма в точку С относительно точки В (против часовой стрелки).