Критерии согласия: критерий Колмогорова:

Имеется выборка   из распределения  . Проверяется простая гипотеза   против сложной альтернативы  . В том случае, когда распределение   имеет непрерывнуюфункцию распределения  , можно пользоваться критерием Колмогорова. Пусть

Покажем, что   удовлетворяет условиям K1(a,б).

а)Если   верна, то   имеют распределение  . По теореме Колмогорова  , где   имеет распределение с функцией распределения Колмогорова.

б)Если гипотеза   неверна, то   имеют какое-то распределение  , отличное от  . По теореме Гливенко — Кантелли   для любого   при  . Поскольку  , найдется   такое, что  . Но

Умножая на  , получим при  , что 

Рис. 9: График функции

Пусть случайная величина   имеет распределение с функцией распределения Колмогорова Это распределение табулировано, так что по заданному  легко найти   такое, что  .

Критерий Колмогорова выглядит так:

Критерии согласия: критерий Пирсона:

Критерий   (K.Pearson, 1900) основывается на группированных данных. Область значений предполагаемого распределения   делят на некоторое число интервалов. После чего строят функцию отклонения   по разностямтеоретических вероятностей попадания в интервалы группировки и эмпирических частот. Имеется выборка   из распределения  . Проверяется простая гипотеза   против сложной альтернативы  .

Пусть, как в параграфе 1.6,  ,  ,   — интервалы группировки в области значений случайной величины с распределением  . Обозначим для   через   число элементов выборки, попавших в интервал 

и через   — теоретическую вероятность   попадания в интервал   случайной величины с распределением  . С необходимостью,  . Как правило, длины интервалов выбирают так, чтобы  .

Пусть

(23)

Замечание 18.

Свойство K1(б) выполнено далеко не для всех альтернатив. Если распределение выборки   имеет такие же, как у  , вероятности   попадания в каждый из интервалов  , то по данной функции   эти распределения различить невозможно.

Поэтому на самом деле критерий, который мы построим по функции   из (23), решает совсем иную задачу. А именно, пусть задан набор вероятностей   такой, что  . Критерий   предназначен для проверки сложной гипотезы

против сложной альтернативы  , т.е.

Покажем, что   удовлетворяет условию K1(a).

Теорема Пирсона.

Если верна гипотеза  , то при фиксированном   и при 

где, напомним,   есть  -распределение с  степенью свободы.

38)Регрессионный анализ результатов измерения.

Ответ: Одной из часто встречающихся задач при обработке результатов эксперимента является подбор формулы для установления функциональной зависимости между экспериментальными данными, так называемого уравнения регрессии. Прежде чем приступить к подбору формулы, целесообразно нанести опытные данные на график и на глаз, от руки провести через полученные точки наиболее правдоподобную кривую. Очень часто общий вид кривой бывает известен из других соображений, что упрощает задачу, сводя ее к поиску числовых коэффициентов известной функциональной зависимости общего вида (например, прямолинейной, квадратичной, логарифмической и др.). При этом часто становятся видны те опытные данные, которые скорее всего содержат наибольшие погрешности. Кроме полученных экспериментальных точек существенным моментом при проведении кривой являются соображения общего характера: как ведет себя кривая вблизи нуля, пересекает ли она координатные оси, касается ли их, имеет ли асимптоты и т.д.  После того, как эта предварительная работа проделана, начинается собственно подбор формулы – уравнения регрессии. Решением задач, связанных с поиском уравнений регрессии занимается регрессионный анализ, а одним из его наиболее широко применяемых на практике алгоритмов является метод наименьших квадратов [ 3, 5, 6, 7]. В общем случае задача метода наименьших квадратов формулируется следующим образом. Пусть искомая функциональная зависимость величины у от величины х выражается формулой:

           (1) где  заданные функции,  искомые параметры – коэффициенты уравнения (1). Предполагается, что значения аргумента  х  установлены точно, а соответствующие значения функции  у  определены в эксперименте с некоторой погрешностью. Если бы измерения производились без ошибок, то для определения параметров   потребовалось бы ровно  т+1  измерений. Но из-за ошибок эксперимента разные серии из  т+1  измерений будут давать различные значения параметров  . Поэтому количество проводимых измерений должно быть гораздо бо’льшим, чем число  т  определяемых параметров, для уменьшения влияния ошибок  эксперимента за счет использования избыточной информации и получения наилучших в некотором смысле оценок определяемых параметров.   Итак, для получения оценок параметров  проводят  n  экспериментов, результаты которых дают значения не этих параметров, а некоторой функции (1), зависящей от них линейно. Метод наименьших квадратов состоит в том, что оценки параметров формулы (1) определяются из условия: сумма квадратов отклонений

         (2)

достигает наименьшего значения. Для определения этих оценок нужно продифференцировать (2) по всем оценкам  , приравнять все производные нулю и решить полученную линейную систему из т+1 уравнений относительно т+1 неизвестных оценок параметров  :

           (3)

Система уравнений (3) называется системой нормальных уравнений Гаусса. Здесь для краткости записи приняты следующие обозначения сумм:

       (4)

Следует отметить, что система уравнений (3) иногда оказывается плохо обусловленной, т.е. ее решения весьма чувствительны к малейшим изменениям в результатах измерений. Для плохо обусловленных систем в настоящее время разработаны специальные методы, например, метод регуляризации.