10)Законы распределения случайных величин.

Ответ: В энергетике широко применяют случайные величины со следующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее нормальное, общее нормальное, биномиальное, по закону Пуассона. Нормальное распределение, как простейшее, так и общее, используют при нахождении вероятностей ошибок прогнозирования нагрузки потребителей энергосистемы, отклонения нагрузки энергосистемы и отдельных ее узлов от средних значений и т. п. Биномиальное распределение и распределение по закону Пуассона применяют при определении вероятностей различных значений аварийных снижений мощности в энергосистеме и аварийного выхода различного числа агрегатов в группе однотипных и т. д. Равномерное распределение служит основой метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), применяющегося при определении резерва мощности, отказа в срабатывании автоматики и т. п. Из-за отсутствия соответствующих статистических материалов не всегда можно задать таблицы распределения вероятностей для дискретных случайных величин или функции распределения и плотности распределения вероятностей для непрерывных случайных величин. Однако и не для всех практических задач требуется знать вероятностные характеристики случайной величины. Во многих случаях достаточно знать основные числовые характеристики, случайных величин, к числу которых относятся математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и моменты случайной величины. Случайная величина может приобретать различные значения, поэтому важно знать ее среднее значение. Однако, если известна совокупность значений случайной величины, то простое среднее значение, определяемое как сумма возможных значений, разделенная на их число, еще не характеризует действительных условий. Ведь различные значения случайной величины могут иметь различные вероятности, и поэтому более вероятные значения будут чаще встречаться на практике и в большей мере определять истинное среднее значение случайной величины. Поэтому для оценки среднего (в вероятностном смысле) значения случайной величины вводится понятие математического ожидания, представляющего собой действительно среднее значение случайной величины.

11)Определение вероятности, подчиняющейся нормальному закону распределения.

Ответ: Простейшее нормальное распределение непрерывной случайной величины: Плотность вероятности для простейшего нормального распределения . Графически плотность вероятности простейшего нормального распределения изображается кривой, симметричной относительно оси ординат с максимальным значением при (рис. 3.3). Функция распределения .

Рис. 3.3

Вероятность попадания случайной величины в интервал

,

где Ф(х) – интеграл вероятности. Вероятность попадания в интервал  от нулевого значения

. Общее нормальное распределение непрерывной случайной величины: Плотность вероятности для такого распределения

, где  и а – постоянные величины. Кривая плотности вероятности представлена на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Наибольшее значение плотности соответствует значению и равно . С изменением параметра  максимальное значение плотности вероятности изменяется обратно пропорционально величине . Функция распределения

,

а, следовательно, вероятность . (3.27)

Если в (3.27) заменить переменную х на z так, чтобы , то

Аналогично, функция распределения

. Таким образом, можно определять функцию распределения и вероятность попадания в заданный интервал для непрерывной случайной величины, имеющей общее нормальное распределение, пользуясь интегралом вероятностей, как и в случае простейшего нормального распределения. При этом в пределах интеграла значения х заменяются на .

12)Определение вероятности, подчиняющейся равномерному закону распределения.

Ответ: Равномерное распределение: Величина, имеющая неизменную плотность вероятности, называется равномерно распределенной непрерывной случайной величиной. При этом функция распределения изменяется по линейному закону. Если непрерывная случайная величина равномерно распределена только в интервале , то вероятность попадания в этот интервал равна единице: . Так как в данном случае плотность вероятности – величина постоянная, то ее можно вынести за знак интеграла: . Следовательно, для равномерного распределения ; . Величина плотности распределения вероятности является обратной по отношению к величине интервала. Чем больше интервал, тем меньше плотность распределения вероятности. Вероятность попадания случайной величины в интервал . Таким образом, вероятность попадания в какой-либо внутренний интервал равна отношению величины этого интервала к величине всего интервала распределения.