7)Числовые характеристики случайных величин.

Ответ: Характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения. Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую возможные значения с вероятностями . Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений х_i, причем каждое значение х_i при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее значение случайной величины X, которое мы обозначим

, или, учитывая, что ,

. (3.4)

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрение одно из важнейших понятий теории вероятностей – понятие математического ожидания. Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Заметим, что в вышеприведенной формулировке определение математического ожидания справедливо, строго говоря, только для дискретных случайных величин. ниже будет дано обобщение этого понятия на случай непрерывных величин.

Формула (3.4) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины Х математическое ожидание, естественно, выражается уже не суммой, а интегралом:

, (3.5)

где f(х) – плотность распределения величины X. Формула (3.5) получается из формулы (3.4), если в ней заменить отдельные значения х_i непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности р_i – элементом вероятности , конечную сумму – интегралом. Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, – употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные. Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида:

. (3.6)

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

.

(3.7)

Нетрудно убедиться, что введенная характеристика положения – математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины X. Общее определение начального момента s-го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

, (3.8)

т. е. начальным моментом s-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание s-й степени этой случайной величины. Введем новое понятие «центрированной случайной величины». Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием т_х. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

. (3.9)

Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком наверху. Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

. (3.10)

Для прерывной случайной величины s-й центральный момент выражается суммой

, (3.11)

а для непрерывной – интегралом . (3.12)

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:

, (3.13)

т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю. Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент ₂.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение : . Согласно определению центрального момента

, (3.14)

т. е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Заменяя в выражении (3.14) величину ее выражением, имеем также: . (3.15) Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы: , (3.16)

, (3.17) соответственно для прерывных и непрерывных величин. Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание». Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания). Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины X. Среднее квадратическое отклонение будем обозначать :

. (3.18)

На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через ее второй начальный момент, которая в новых обозначениях будет иметь вид:

. (3.19)

Математическое ожидание (М. О.) и дисперсия (или среднее квадратическое отклонение ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. В теории вероятностей доказывается ряд теорем, связанных с м. о. случайных величин, которые приводятся без доказательств: 1)м. о. постоянной величины С равно этой величине, т. е. , так как вероятность постоянной величины равна единице; 2)м. о. произведения случайной величины на постоянную С равно произведению постоянной величины С на м. о. случайной величины: ; (3.20) 3)м. о. суммы случайных величин равно сумме М. О. каждой из величин в отдельности:

; (3.21) 4)м. о. произведения независимых случайных величин равно произведению М. О. каждой из величин:

. (3.22) В теории вероятностей доказывается ряд теорем, связанных с дисперсией случайных величин, которые приводятся без доказательств: 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: . (3.23)

2. Дисперсия произведения постоянной величины С на случайную величину  равна произведению квадрата постоянной величины С на дисперсию случайной величины : . (3.24) 3. Дисперсия суммы постоянной С и случайной  величин равна дисперсии случайной величины: . (3.25) 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин  и ) равна сумме дисперсий этих величин: . (3.26) 5. Дисперсия среднеарифметического от ряда п случайных величин с одинаковой дисперсией в n раз меньше дисперсии каждой из этих величин в отдельности:

.