8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется распределению Релея.

Для Vm

Объединяем полученные матрицы в один массив Vm

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае Релея)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется распределению Релея.

Проверка связи между случайными величинами и составление уравнения регрессии.

Корреляционное поле и выбор уравнения регрессии.

Расчет корреляции величин Vm и V3o

Уровень значимости

Критическое значение критерия Стьюдента

Построение регрессии величин

Коэффициент прямой регрессии

Уравнение регрессии

Поле рассечения и прямая регрессии на одном графике

Корреляционное поле и прямая

Оценка статистической надежности уравнения регрессии

Гипотеза Но: полученное уравнение не надежно

Гипотеза Н1: полученное уравнение надежно

Объем выборки

Расчетное значение коэффициента Фишера

Так как наблюдаемое значение критерия Fn больше критического Fk, то нулевую гипотезу отклоняем, следовательно, полученное уравнение регрессии является надежным, что не противоречит выводу, сделанному на основании анализа средней ошибки аппроксимации.

Коэффициент эластичности

Следовательно, при увеличении фактора Vm на 1%,результат V3o увеличивается на 1,055%

Коэффициент детерминации

Следовательно, 97,8% результат V3o зависит от фактора Vm, а на 2,2% от случайных факторов.

Заключение

Проведена статистическая обработка данных наблюдений о входном и выходном сигнале идеального усилителя. Найдены числовые характеристики этих случайных величин, построены гистограммы плотностей эмпирических функций распределения указанных величин, доказаны отсутствие нормальности их распределений, методами корреляционного анализа доказано наличие линейной связи между данными величинами, для выявленной связи построено регрессионное уравнение, по критерию Фишера доказана его надежность, рассчитаны коэффициенты эластичности и детерминации

Задача 4.

Пусть на вход частотного детектора (ЧД) поступает частотно модулированный сигнал с постоянной амплитудой и начальной фазой, но случайной несущей частотой. Измеренные значения мгновенной частоты Фо и постоянного напряжения Vо на выходе частотного детектора представлены выборкой. Определить числовые характеристики указанных случайных величин. Построить гистограмму плотности распределения. Показать, что эти случайные величины распределены по равномерному закону. Проверить наличие линейной связи между ними и составить уравнение регрессии.

Решение:

Природа исходных данных – случайные начальные фазы, вещественные числа в диапазоне измеренные с точностью 0,01.

Ввод исходных данных.

Вводим данные порциями по 10 в отдельные массивы, которые затем объединим в массивы Fo и V2o размерности 50х1.

Уточненная выборочная дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Уточненное среднее квадратическое отклонение

Мода не определена

Медиана

Асимметрия

Эксцесс

Выборочная средняя величина

Выборочная дисперсия входной величины

2. Построение гистограммы

3. Проверка гипотезы о законе распределения для

Нулевая гипотеза: Н0: случайная величина распределена по равномерному закону

Альтернативная гипотеза: Н1: случайная величина имеет другой вид распределения.

Объединяем полученные матрицы в один массив

1. Расчет вероятности попадания СВ на любой из заданных интервалов и теоретические частоты

- значение теоретических частот на любой интервал

2. Находим эмпирические частоты

3. Расчет "хи-квадрат" наблюдаемого.

Матрица эмпирических частот

Матрица теоретических частот

Наблюдаемое значение критерия

4. Расчет "хи-квадрат" критического

Критическое значение критерия

5. Вывод для правосторонней критической области: так как χN<χK, то нулевую гипотезу принимаем.

Расчет числовых характеристик для V2o

Расчет числовых характеристик

Уточненная выборочная дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Уточненное среднее квадратическое отклонение

Мода

Медиана не определена

Асимметрия

Эксцесс

Выборочная средняя величина

Выборочная дисперсия входной величины

Для V2o

Проверка гипотезы о законе распределения для

Объединяем полученные матрицы в один массив V2о

1. Расчет вероятности попадания СВ на любой из заданных интервалов и теоретические частоты

- значение теоретических частот на любой интервал

2. Находим эмпирические частоты

3. Расчет "хи-квадрат" наблюдаемого.

Матрица эмпирических частот

Матрица теоретических частот

Наблюдаемое значение критерия

4. Расчет "хи-квадрат" критического

Критическое значение критерия

5. Вывод для правосторонней критической области: так как χN<χK, то нулевую гипотезу принимаем.

Проверка связи между случайными величинами и составление уравнения регрессии.

Корреляционное поле и выбор уравнения регрессии.

Расчет корреляции величин Fo и V2o

Уровень значимости

Построение регрессии величин

Коэффициент прямой регрессии

Уравнение регрессии

Поле рассечения и прямая регрессии на одном графике

Критическое значение критерия Стьюдента

Оценка статистической надежности уравнения регрессии

Гипотеза Но: полученное уравнение не надежно

Гипотеза Н1: полученное уравнение надежно

Объем выборки

Расчетное значение коэффициента Фишера

Так как наблюдаемое значение критерия Fn больше критического Fk, то нулевую гипотезу отклоняем, следовательно, полученное уравнение регрессии является надежным, что не противоречит выводу, сделанному на основании анализа средней ошибки аппроксимации.

Следовательно, 97,8% результат V2o зависит от фактора а на 2,2% от случайных факторов.

Коэффициент эластичности

Следовательно, при увеличении фактора на 1%,результат V2o увеличивается на 0,319%

Коэффициент детерминации

Задача 5.

Пусть на входе идеального усилителя (с равномерной амплитудной характеристикой и линейной фазовой характеристикой) поступает гармонический сигнал с постоянной частотой, но случайной амплитудой и начальной фазой. Измеренные мгновенные значения сигналов на входе и выходе усилителя представлены выборкой.

Определить числовые характеристики указанных случайных величин. Построить гистограмму плотности распределения. Показать, что эти случайные величины распределены по нормальному закону. Проверить наличие линейной связи между ними и составить уравнение регрессии.

Решение:

Природа исходных данных – случайные начальные фазы, вещественные числа в диапазоне измеренные с точностью 0,01.

Ввод исходных данных.

Вводим данные порциями по 10 в отдельные массивы, которые затем объединим в массивы Vвх и V2вых размерности 50х1.

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода не определена

_{Медиана}

_{асимметрия}

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода не определена

_{асимметрия}

медиана

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

2. Построение гистограммы

Для V2вых

3. Проверка гипотезы о законе распределения для

Нулевая гипотеза: Н0: случайная величина распределена по нормальному закону

Альтернативная гипотеза: Н1: случайная величина имеет другой вид распределения.

Объединяем полученные матрицы в один массив

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Проверка гипотезы о законе распределения для

Объединяем полученные матрицы в один массив

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Проверка связи между случайными величинами и составление уравнения регрессии.

Корреляционное поле и выбор уравнения регрессии.

Расчет корреляции величин и V2V

Уровень значимости

Критическое значение критерия Стьюдента

Построение регрессии величин

Коэффициент прямой регрессии

Уравнение регрессии

Поле рассечения и прямая регрессии на одном графике

Оценка статистической надежности уравнения регрессии

Гипотеза Но: полученное уравнение не надежно

Гипотеза Н1: полученное уравнение надежно

Объем выборки

Расчетное значение коэффициента Фишера

Так как наблюдаемое значение критерия Fn больше критического Fk, то нулевую гипотезу отклоняем, следовательно, полученное уравнение регрессии является надежным, что не противоречит выводу, сделанному на основании анализа средней ошибки аппроксимации.

Коэффициент эластичности

Следовательно, при увеличении фактора на 1%,результат 2V увеличивается на 1.418x10(-5)%

Коэффициент детерминации

Следовательно, 97,8% результат V2V зависит от фактора а на 2,2% от случайных факторов.

Задача 6.

Результаты измерений угловых колебаний ведущего моста автомобиля Х и угловых колебаний подрессорной массы У (галопирование) представлены выборкой.

Определить числовые характеристики этих случайных величин. Построить гистограмму плотности распределения. Показать, что эти случайные величины распределены по нормальному закону. Проверить наличие линейной связи между ними и составить уравнение регрессии.

Решение:

Природа исходных данных – случайные начальные фазы, вещественные числа в диапазоне измеренные с точностью 0,01.

Ввод исходных данных.

Вводим данные порциями по 10 в отдельные массивы, которые затем объединим в массивы Х и У3 размерности 50х1.

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода

_{медиана}

_{асимметрия}

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

Для У3

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода не определена

_{асимметрия}

медиана

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

2. Построение гистограммы

3. Проверка гипотезы о законе распределения для

Нулевая гипотеза: Н0: случайная величина распределена по нормальному закону

Альтернативная гипотеза: Н1: случайная величина имеет другой вид распределения.

Объединяем полученные матрицы в один массив

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия больше критического (χN>χK), то принимаем альтернативную гипотезу. Следовательно, заданная выборка имеет другой вид распределения.

Проверка гипотезы о законе распределения для

Объединяем полученные матрицы в один массив

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Проверка связи между случайными величинами и составление уравнения регрессии.

Корреляционное поле и выбор уравнения регрессии.

Расчет корреляции величин X и Y3

Уровень значимости

Критическое значение критерия Стьюдента

Построение регрессии величин

Коэффициент прямой регрессии

Уравнение регрессии

Поле рассечения и прямая регрессии на одном графике

Оценка статистической надежности уравнения регрессии

Гипотеза Но: полученное уравнение не надежно

Гипотеза Н1: полученное уравнение надежно

Объем выборки

Расчетное значение коэффициента Фишера

Так как наблюдаемое значение критерия Fn больше критического Fk, то нулевую гипотезу отклоняем, следовательно, полученное уравнение регрессии является надежным, что не противоречит выводу, сделанному на основании анализа средней ошибки аппроксимации.

Коэффициент эластичности

Следовательно, при увеличении фактора на 1%,результат Y3 увеличивается на -0,055%

Коэффициент детерминации

Следовательно, 97,8% результат Y3 зависит от фактора а на 2,2% от случайных факторов.

Задача 7.

Результаты измерений колебаний крутящего момента на полуоси автомобиля М и угловых колебаний ведущего моста У дали результаты, представленные выборкой. Определить числовые характеристики случайных величин. Построить гистограмму плотности распределения. Показать, что эти случайные величины распределены по нормальному закону. Проверить наличие линейной связи между ними и составить уравнение регрессии.

Решение:

Природа исходных данных – случайные начальные фазы, вещественные числа в диапазоне измеренные с точностью 0,01.

Ввод исходных данных.

Вводим данные порциями по 10 в отдельные массивы, которые затем объединим в массивы М и Z3 размерности 50х1.

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода

_{медиана}

_{асимметрия}

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода

_{асимметрия}

медиана

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

2. Построение гистограммы

3. Проверка гипотезы о законе распределения для

Нулевая гипотеза: Н0: случайная величина распределена по нормальному закону

Альтернативная гипотеза: Н1: случайная величина имеет другой вид распределения.

Объединяем полученные матрицы в один массив

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Проверка гипотезы о законе распределения для

Объединяем полученные матрицы в один массив

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Проверка связи между случайными величинами и составление уравнения регрессии.

Корреляционное поле и выбор уравнения регрессии.

Расчет корреляции величин M и Z3

Уровень значимости

Критическое значение критерия Стьюдента

Построение регрессии величин

Коэффициент прямой регрессии

Уравнение регрессии

Поле рассечения и прямая регрессии на одном графике

Оценка статистической надежности уравнения регрессии

Гипотеза Но: полученное уравнение не надежно

Гипотеза Н1: полученное уравнение надежно

Объем выборки

Расчетное значение коэффициента Фишера

Так как наблюдаемое значение критерия Fn больше критического Fk, то нулевую гипотезу отклоняем, следовательно, полученное уравнение регрессии является надежным, что не противоречит выводу, сделанному на основании анализа средней ошибки аппроксимации.

Коэффициент эластичности

Следовательно, при увеличении фактора M на 1%,результат Z3 увеличивается на -1,408%

Коэффициент детерминации

Следовательно, 97,8% результат Z3 зависит от фактора а на 2,2% от случайных факторов.

Задача 8.

Исходные данные для исследования взяты из документа Департамента автомобильного транспорта Министерства транспорта Российской Федерации «Нормы расхода топлив и смазочных материалов на автомобильном транспорте» (руководящий документ Р311214-0366-03)

Нормы расхода топлива для отечественных стран и СНГ легковых автомобилей.

V – объем двигателя, W – мощность двигателя, Hs – базовая норма расхода топлива на пробег автомобиля, л/100км.

Решение:

Природа исходных данных – случайные начальные фазы, вещественные числа в диапазоне измеренные с точностью 0,01.

Ввод исходных данных.

Вводим данные порциями по 10 в отдельные массивы, которые затем объединим в массивы W и Hs размерности 50х1.

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода

_{медиана}

_{асимметрия}

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

уточненная выборочная дисперсия

среднее квадратическое отклонение

уточненное среднее квадратическое отклонение

мода

_{асимметрия}

медиана

_{эксцесс}

выборочная средняя величина

выборочная дисперсия входной величины

2. Построение гистограммы

3. Проверка гипотезы о законе распределения для

Нулевая гипотеза: Н0: случайная величина распределена по нормальному закону

Альтернативная гипотеза: Н1: случайная величина имеет другой вид распределения.

Объединяем полученные матрицы в один массив

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия больше критического (χN>χK), то принимаем альтернативную гипотезу. Следовательно, заданная выборка имеет другой вид распределения.

Проверка гипотезы о законе распределения для Hs

Объединяем полученные матрицы в один массив Hs

4. Находим эмпирические частоты

5. Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой n_i=np_i, где n - объем выборки (в нашем случае n=50), p_i=f(x)dx - вероятность попадания СВ на заданный промежуток, f(x) - плотность распределения (в нашем случае нормальное распределение)

6. Убеждаемся, что сумма теоретических частот близка к объему выборки, равному 50.

7. Объединяем группы теоретических частот, меньших 5. Объединяем соответствующие эмпирические частоты.

8. Находим наблюдаемое и критическое значение критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического (χN<χK), то нулевую гипотезу не отклоняем. Следовательно, заданная выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Проверка связи между случайными величинами и составление уравнения регрессии.

Корреляционное поле и выбор уравнения регрессии.

Расчет корреляции величин W и Hs

Уровень значимости

Критическое значение критерия Стьюдента

Построение регрессии величин

Коэффициент прямой регрессии

Уравнение регрессии

Поле рассечения и прямая регрессии на одном графике

Оценка статистической надежности уравнения регрессии

Гипотеза Но: полученное уравнение не надежно

Гипотеза Н1: полученное уравнение надежно

Объем выборки

Расчетное значение коэффициента Фишера

Так как наблюдаемое значение критерия Fn меньше критического Fk, то нулевую гипотезу принимаем, следовательно, полученное уравнение регрессии является ненадежным.

Коэффициент эластичности

Следовательно, при увеличении фактора W на 1%,результат Hs увеличивается на -0.08%

Коэффициент детерминации

Следовательно, 97,8% результат Hs зависит от фактора W а на 2,2% от случайных факторов.